Fórmula (lóxica)

En Lóxica matemática, unha fórmula é unha representación dunha proposición dentro dunha certa linguaxe formal.

Grosso modo, unha fórmula é unha frase construída segundo as regras gramaticais dunha determinada linguaxe formal, con respecto de obxectos do universo de discurso.

Fórmula en lóxica clásica de primeira orde

A definición exacta dunha fórmula depende do tipo particular da lóxica formal que se considere, pero unha definición bastante típica (específica da lóxica de primeira orde) é a seguinte: as fórmulas se definen en relación a unha linguaxe matemática particular, é dicir, unha colección de variábeis, constantes, símbolos lóxicos, símbolos de función e símbolos de relación particulares, e poden ser:

R(t₀, …, t_n), onde R é un símbolo de relacióno n-ario (co n >= 0) e t₀, …, t_n son termos, ou
⊤ , ou
⊥, ou
(¬φ), onde φ é unha fórmula, ou
(φ∧ψ), onde φ e ψ son fórmulas, ou
(φ∨ψ), onde φ e ψ son fórmulas, ou
(φ → ψ), onde φ e ψ son fórmulas, ou
(φ ↔ ψ), onde φ e ψ son fórmulas, ou
(∀x)(φ), onde x é unha variábel e φ é unha fórmula, ou
(∃x)(φ), onde x é unha variábel e φ é uma fórmula.

O primeiro caso chámase fórmula atómica.

E un termo pode ser definido, tamén recursivamente, por:

Unha variábel.
Un símbolo de constante, ou
f(t₀, …, t_n), onde f é un símbolo de función n-aria(con n >= 0) aplicada a termos.

É necesario observar que cando unha FBF non é unha fórmula pechada, xa que nese caso non pode ser clasificada como unha fórmula proposicional. Ora ben, dada a fórmula pechada $\exists \mathrm {x} \forall \mathrm {y} (\mathrm {R} (\mathrm {x} ,\mathrm {y} ))$ onde R é unha relación binaria e x e y son termos, podemos interpretala, por exemplo, por: para todo número natural hai un número menor ou igual a el, e sabemos que iso é verdadeiro, pero se tomamos a fórmula ben formada: $\exists \mathrm {x} (\mathrm {P} (\mathrm {x} ,\mathrm {y} ))$ , onde P é un símbolo de relación binaria e x e y son termos, a máxima interpretación que podemos dar a esa fórmula é: existe un número x menor que ___, por exemplo, e non hai maneira de verificar se esa fórmula é ou non verdadeira.

Exemplos

Un exemplo de fórmula proposicional para lóxica clásica de primeira orde pode ser:

$\exists \mathrm {z} \forall \mathrm {x} (\mathrm {P} (\mathrm {z} ,\mathrm {x} ))$ , onde P é u símbolo de relación binaria e x e z son termos.
$\exists \mathrm {y} \forall \mathrm {x} (\mathrm {P} (\mathrm {x} ,\mathrm {y} )\land (\mathrm {R} (\mathrm {x} )))$ , onde x e y son variábeis e P e R son símbolos de relacións binaria e unaria respectivamente.

Un non-exemplo sería:

$\exists \mathrm {z} (\mathrm {P} (\mathrm {z} ,\mathrm {x} ))$ , onde x e z son termos, e P é un símbolo de función.

Véxase tamén

Bibliografía

Bedregal, Benjamín R. Callejas & Acióly, Benedito Melo (2002): Lógica para a Ciência da Computação. (Versión preliminar).
Hinman, P. (2005): Fundamentals of Mathematical Logic. A. K. Peters. ISBN 1-568-81262-0