Homeomorfismo

En topoloxía, un homeomorfismo (do grego ὅμοιος (homoios) = mesma e μορφή (morphē) = forma)^[1] é unha función dun espazo topolóxico noutro, que cumpre con ser unha función un a un continua e cuxa inversa é continua. Neste caso, os dous espazos topolóxicos chámanse homeomorfos. As propiedades destes espazos que se conservan baixo homeomorfismos denomínanse propiedades topolóxicas.

Na categoría de espazos topolóxicos, os morfismos son as funcións continuas e os isomorfismos son os homeomorfismos. Consecuentemente, a composición de dous homeomorfismos é de novo un homeomorfismo, e o conxunto de todos os homeomorfismos h:X → X dun espazo en si mesmo forman un grupo chamado grupo de homeomorfismos de X, que adoita notarse como Homeo(X).

De modo intuitivo, o concepto de homeomorfismo reflicte como dous espazos topolóxicos son «os mesmos» vistos doutra maneira: permitindo estricar, dobrar ou cortar e pegar. Con todo, os criterios intuitivos de «estricar», «dobrar», «cortar e pegar» requiren de certa práctica para aplicalos correctamente. Deformar un segmento de liña até un punto non está permitido, por exemplo. Contraer de maneira continua un intervalo até un punto é outro proceso topolóxico de deformación chamado homotopía.

A definición de homeomorfismo é a seguinte:

Sexan ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ espazos topolóxicos, e ${\displaystyle f}$ unha función de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$; entón, ${\displaystyle f}$ é un homeomorfismo se se cumpre:

• ${\displaystyle f}$ é unha bixección
• ${\displaystyle f}$ é continua
• A inversa de ${\displaystyle f}$ é continua

Se ${\displaystyle f:X\to Y}$ é un homeomorfismo, dise que ${\displaystyle X}$ é homeomorfo a ${\displaystyle Y}$. Se dous espazos son homeomorfos entón teñen exactamente as mesmas propiedades topolóxicas. Dende o punto de vista da teoría de categorías, dous espazos que son homeomorfos son iguais topoloxicamente falando.

• Dous espazos dotados da topoloxía discreta son homeomorfos se e só se teñen a mesma cardinalidade.
• Se X é un espazo compacto e Y é un espazo de Hausdorff, entón ${\displaystyle f:X\to Y}$ é un homeomorfismo se e só se f é unha bixección continua. Isto é, non é necesario verificar que a inversa de f sexa continua. Esta propiedade é útil en moitas situacións.
• Unha esfera n-dimensional á que se lle quitou un punto, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\setminus \{x\}}$, é homeomorfa ao espazo euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. O homeomorfismo pode ser construído a partir da proxección estereográfica.

Un difeomorfismo é un homeomorfismo diferenciable entre variedades diferenciables cuxa inversa tamén é diferenciable; é dicir, é un isomorfismo de variedades diferenciables. Os cambios de coordenadas constitúen un caso particular de difeomorfismo.

Un exemplo para distinguir entre homeomorfismo e difeomorfismo:

Unha circunferencia e o perímetro dun cadrado son homeomorfos, pero non difeomorfos.

Tamén:

Dúas curvas calquera, no espazo, son homeomorfas, no sentido que existe un homeomorfismo entre elas.

Dous volumes tipo «cunca de café con asa» e un «toro» son homeomorfos.^[2]

Un cambio de coordenadas regular pode representarse como un difeomorfismo entre os respectivos dominios das coordenadas.

En física os difeomorfismos son amplamente usados:

Na mecánica hamiltoniana o fluxo asociado á evolución temporal dun sistema mecánico é un difeomorfismo. Tamén calquera transformación canónica é un difeomorfismo.

Na mecánica de medios continuos a deformación é un difeomorfismo desde unha configuración inicial á configuración final. O conxunto de todos estes difeomorfismos forma un grupo de Lie de dimensión infinita.

Na relatividade xeral a evolución do espazo-tempo vén dada por un grupo uniparamétrico de difeomorfismos. O grupo de norma da relatividade xeral é o grupo de difeomorfismos que ademais son isometrías.

• Morfismo
• Homeomorfismo local
• Homotopía
• Topoloxía alxébrica

• Weisstein, Eric W. «Homeomorphism».