Número e

O número $e$ é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828. Este número pode ser caracterizado de diversas formas. É a base dos logaritmos naturais e é o límite de $(1 + 1/ n) n$ cando $n$ se aproxima do infinito, unha expresión que provén do cálculo dos xuros compostos. Tamén pode ser calculado como a suma da serie infinita:

e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots

Ademais, é o único número positivo $a$ tal que o gráfico da función $y = a x$ ten unha pendente de 1 cando $x = 0$ .

A función exponencial (natural) $f (x) = e x$ é a única función $f$ que é igual á súa propia derivada e que satisface a ecuación $f (0) = 1$ ; por iso, $e$ tamén pode ser definido como $f (1)$ . O logaritmo natural, ou logaritmo de base $e$ , é a función inversa da función exponencial natural. O logaritmo natural para un número natural $k > 1$ pode ser definido directamente como a área baixo a curva $y = 1/ x$ entre $x = 1$ e $x = k$ ; neste caso, $e$ é o valor de $k$ para o cal esta área é igual a 1. Há varias outras caracterizacións.

O número $e$ tamén é coñecido como o número de Euler (non confundir coa constante de Euler $γ$ ), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier.^[1] Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos.^[2]^[3]

O número $e$ ten unha grande importancia na matemática,^[4] xunto con 0, 1, $π$ e $i$ . Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler $e iπ + 1 = 0$ e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante $π$ , $e$ é irracional (non pode ser representado como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais). Con 50 cifras decimais, o valor de $e$ é:^[5]

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Historia

A existencia dun límite de $(1+{\frac {1}{n}})^{n}$ por $n$ enteiro positivo se $n$ → ∞ foi probada por Daniel Bernoulli en 1728 por primeira vez. A notación con $e$ , de 1728, é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.^[6]

Propiedades

O número $e$ é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
O logaritmo natural de $e$ é 1.
A identidade de Euler relaciona ao número $e$ co valor imaxinario, $i$ , π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas".

$e^{i\pi }+1=0$

$\rho (cos\theta +isen\theta )=\rho e^{i\theta }$ .
É un número real trascendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica como unha serie infinita: $e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}+...$
$2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\leq 4$ ^[7]
$n!>\left(1+{1 \over n}\right)^{n}$
É a base dos logaritmos neperianos.

Notas

↑ Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 10 de agosto de 2020.
↑ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (en inglés) (illustrated ed.). Sterling Publishing Company. p. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166
↑ O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics (en inglés).
↑ Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's Delight. Penguin (en inglés). p. 155.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001113 (Decimal expansion of e)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (en inglés). OEIS Foundation.
↑ N. V. Alexándrova: Diccionario histórico [...] de la matemáticas, Hayka impresoen España
↑ P.P. Korovkin: Desigualdades, Editorial Mir , Moscú 1974