Álxebra de Lie

En matemáticas, unha álxebra de Lie é a estrutura alxébrica definida sobre un espazo vectorial, asociada habitualmente aos grupos de Lie e empregadas no estudo xeométrico deses propios grupos e doutras variedades diferenciábeis. O vocábulo "álxebra de Lie" (referido a Sophus Lie) foi creado por Hermann Weyl na década de 1930, para o que se denominaba "grupo infinitesimal".

Se un grupo de Lie pode interpretarse en física como un grupo de transformacións sobre unha variedade diferenciábel, a álxebra de Lie fisicamente pode concibirse como un conxunto de transformacións infinitesimais.

Unha álxebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ é un espazo vectorial sobre un certo corpo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ xunto cunha operación binaria [•, •]: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\times {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}}$, chamada corchete de Lie, que satisfai as propiedades seguintes:

• é bilinear, é dicir, [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] e [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] para todo a, b en ${\displaystyle \mathbb {F} }$ e todo x, y, z en ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.
• satisfai a identidade de Jacobi, é dicir, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 para todo x, y, z en ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.
• [x, x] = 0 para todo x en ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

Obsérvese que a primeira propiedade e a terceira xuntas implican [x, y] = − [y, x] para todo x, y en ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ("anti-simetría") se o corpo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ é de característica diferente de dous. Obsérvese tamén que a multiplicación representada polo corchete de Lie non é, en xeral, asociativa, é dicir, [[x, y], z] non é igual necesariamente a [x, [y, z]].

• Cada espazo vectorial convértese nunha álxebra de Lie abeliana trivial se se define o corchete de Lie como identicamente a cero.
• O espazo euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ convértese nunha álxebra de Lie co corchete de Lie dado polo produto vectorial.
• Se se dá unha álxebra asociativa A coa multiplicación * , pódese dar unha álxebra de Lie definindo [x, y] = x * y − y * x. Esta expresión chámase conmutador de x e y.
• Inversamente, pode demostrarse que cada álxebra de Lie pódese mergullar noutra que xurda dunha álxebra asociativa dese xeito.
• Outro exemplo importante vén da topoloxía diferencial: os campos vectoriais nunha variedade diferenciábel forman unha álxebra de Lie de dimensión infinita. Estes campos vectoriais actúan como operadores diferenciais sobre as funcións diferenciábeis sobre a variedade. Dados dous campos vectoriais X e Y, o corchete de Lie ${\displaystyle \scriptstyle [X,Y]}$ defínese como:

${\displaystyle \left[X,Y\right]f=(XY-YX)f\,}$

e pode comprobarse que este operador corresponde a un campo vectorial. As xeneralizacións axeitadas da teoría de variedades ao caso de dimensión infinita mostran que esta álxebra de Lie é a asociada ao grupo de Lie dos difeomorfismos da variedade.

• No caso dunha variedade que sexa un grupo de Lie ${\displaystyle G}$ á súa vez, un subespazo dos campos vectoriais queda inalterado polas transformacións dadas polo propio grupo, no sentido de que en cada punto ${\displaystyle g}$ do mesmo, o campo non é máis que:

${\displaystyle X(g)=dl_{g}(X(e))\,}$

Este subespazo é de dimensión finita (e igual á do grupo), dado que se corresponde co espazo tanxente na identidade. Ademais herda a estrutura de álxebra de Lie definida no punto anterior e denomínase a álxebra de Lie asociada ao grupo ${\displaystyle G}$.

• Como exemplo concreto, considérese o grupo de Lie SL(n, R) de todas as matrices ${\displaystyle n\times n}$ con valores reais e determinante 1. O espazo tanxente na matriz identidade pode identificarse co espazo de todas as matrices reais ${\displaystyle n\times n}$ con traza 0 e a estrutura de álxebra de Lie que vén do grupo de Lie coincide co que xorde do conmutador da multiplicación de matrices.

Un homomorfismo ${\displaystyle \varphi :{\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {b}}}$ entre as álxebras de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ e ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ sobre o mesmo corpo de base ${\displaystyle \mathbb {F} }$ é unha función ${\displaystyle \mathbb {F} }$-linear tal que ${\displaystyle [\varphi (x),\varphi (y)]=\varphi ([x,y])}$ para todo x e y en ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. A composición deses homomorfismos é outra vez un homomorfismo, e as álxebras de Lie sobre o corpo ${\displaystyle \mathbb {F} }$, xunto con estes morfismos, forman unha categoría. Se ese homomorfismo é bixectivo, chámase isomorfismo, e as dúas álxebras de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ e ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ chámanse isomorfas. Para todos os efectos prácticos, as álxebras de Lie isomorfas son idénticas.

Unha subálxebra da álxebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ é un subespazo vectorial ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ tal que ${\displaystyle [x,y]\in {\mathfrak {b}}}$ para todo ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {b}}}$. É dicir, ${\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]\subset {\mathfrak {b}}}$. A subálxebra é entón unha álxebra de Lie.

Un ideal da álxebra de Lie A é un subespazo vectorial I de A tales que [a, y]∈I para todo a∈A y∈I. i.e. [A, I] ⊆ I. Todos os ideais son subálxebras. Se I é un ideal de A, entón o espazo cociente A/I convértese nunha álxebra de Lie definindo [x + I, y + I] = [x, y] + I para todo x, y ∈ A. Os ideais son precisamente os núcleos de homomorfismos, e o teorema fundamental de homomorfismos é válido para as álxebras de Lie.

As álxebras de Lie reais e complexas poden clasificarse ata un certo grao, e esta clasificación é un paso importante cara a clasificación dos grupos de Lie. Cada álxebra de Lie real ou complexa finito-dimensional preséntase como a álxebra de Lie dun único grupo de Lie simplemente conexo real ou complexo (teorema de Ado), mais pode haber máis dun grupo, aínda máis dun grupo conexo, dando lugar á mesma álxebra. Por exemplo, os grupos SO(3) (matrices ortogonais 3×3 de determinante 1) e SU(2) (matrices unitarias 2×2 de determinante 1), dan lugar á mesma álxebra de Lie, que resulta R³ co produto vectorial. Unha álxebra de Lie é abeliana se o corchete de Lie se anula, é dicir [x, y] = 0 para todo x e y. Máis xeralmente, unha álxebra de Lie A é nilpotente se a serie central é descendente

A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], A] ⊇ [[[A, A]], A], A] ⊇...

acaba facéndose cero. Polo teorema de Engel, unha álxebra de Lie é nilpotente se e só se para cada x en A, a función ad(x): A -> A definida por

ad(x)(y) = [x, y]

é nilpotente. Máis xeralmente aínda, unha álxebra de Lie A é solúbel se a serie derivada

A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], [[A, A]] ⊇ [[[A, A]], [[A, A]],[[A, A]], [A, A]]] ⊇ ...

acaba facéndose cero. Unha subálxebra solúbel maximal denomínase subálxebra de Borel.

Unha álxebra de Lie A denomínase semisimple se o único ideal solúbel de A é trivial. Equivalentemente, A é semisimple se e só se a forma de Killing K(x, y) = tr(ad(x)ad(y)) é non-dexenerada; aquí tr denota o operador de traza. Cando o corpo F é de característica cero, A é semisimple se e só se cada representación é totalmente reducíbel, é dicir, que para cada subespazo invariante da representación hai un complemento invariante (teorema de Weyl).

Unha álxebra de Lie é simple se non ten ningún ideal non trivial. En particular, unha álxebra de Lie simple é semisimple, e máis xeralmente, as álxebras de Lie semisimples son suma directa de simples. As álxebras de Lie complexas semi-simples clasifícanse a través dos seus sistemas de raíz.

• Superálxebra de Lie
• Alxebroide de Lie
• Álxebra de Virasoro
• E8 (matemáticas)

• Miguel A. Rodríguez (2007) Álgebras de Lie de Universidade Complutense de Madrid.
• McKenzie, Douglas, (2015), "An Elementary Introduction to Lie Algebras for Physicists"