מרחב קומפקטי מקומית

מרחב קומפקטי מקומית הוא מרחב טופולוגי שבו לכל נקודה קיימת סביבה קומפקטית. תכונה זו מתקיימת באופן אוטומטי בכל מרחב טופולוגי קומפקטי, אם כי ישנם מרחבים קומפקטיים מקומית שאינם קומפקטיים (כגון הישר הממשי). לעיתים קרובות, תכונת הקומפקטיות המקומית מאפשרת לטפל במרחב, העשוי להיות ענק ומסובך, בכלים המתאימים למרחבים קומפקטיים. מנקודת מבט זו, הקומפקטיות המקומית מהווה פשרה בין דרישת הקומפקטיות, העשויה להיות חזקה מדי, לבין שימור ההתנהגות הקומפקטית בסביבה קרובה של כל נקודה.

קומפקטיות מקומית מאפשרת לפרק את המרחב לחלקים, אולי חופפים חלקית, כך שכל אחד מהם קומפקטי. במרחב האוסדורף כל קבוצה קומפקטית היא ממילא סגורה, ולכן מרחב האוסדורף הוא קומפקטי מקומית אם יש לו כיסוי פתוח שבו הסגור של כל קבוצה הוא קומפקטי. בספרות יש הגדרות שונות למושג הקומפקטיות המקומית במרחבים שאינם האוסדורף. בוויקיפדיה, מרחב טופולוגי הוא קומפקטי מקומית אם לכל נקודה יש בסיס מקומי של קבוצות קומפקטיות.

בנוסף לישר הממשי שהוזכר לעיל, כל מרחב אוקלידי הוא קומפקטי מקומית.

הספירה הדו-ממדית היא מרחב קומפקטי (כי היא קבוצה סגורה וחסומה במרחב התלת-ממדי). אם נוציא ממנה נקודה אחת היא כבר לא תהיה קומפקטית, אך היא תישאר קומפקטית מקומית. במקרה הזה המרחב הטופולוגי שנותר הומאומורפי למישור.

להלן דוגמה למרחב שבו לכל נקודה יש סביבה קומפקטית, ולא לכל נקודה יש סביבה בעלת סגור קומפקטי: זו הטופולוגיה על קבוצה אינסופית ${\displaystyle X}$, שבה הקבוצות הפתוחות הן אלו המכילות נקודה קבועה 0 (והקבוצה הריקה). לכל ${\displaystyle x\in X}$ הסביבה ${\displaystyle \{0\}\cup \{x\}}$ קומפקטית, אבל ל-${\displaystyle 0}$ אין סביבה בעלת סגור קומפקטי כי לכל קבוצה ${\displaystyle V}$ המכילה את ${\displaystyle 0}$ מתקיים ${\displaystyle {\overline {V}}=X}$.

קומפקטיות מקומית היא "תכונה תורשתית", כלומר על כל קבוצה פתוחה או סגורה במרחב המקורי הטופולוגיה המושרית היא בעלת התכונה קומפקטיות מקומית. היא איננה תכונה תורשתית במובן הרגיל (כלומר לא לכל תת-קבוצה, הטופולוגיה המושרית עליה היא קומפקטית מקומית).

מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית הוא מרחב רגולרי (לעומת זאת מרחב האוסדורף קומפקטי הוא מרחב נורמלי).

בעוד שמכפלה אינסופית של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית (לפי משפט טיכונוף), מכפלה של מרחבים קומפטיים מקומית אינה בהכרח קומפקטית מקומית. עובדה זו מוליכה להגדרת חוג האדלים של שדה גלובלי, שהוא כן קומפקטי מקומית.

• מרחב קומפקטי
• מרחב קשיר מקומית
• מרחב קשיר מסילתי מקומית
• חבורה טופולוגית
• שדה מקומי

• דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 7 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.

• מרחב קומפקטי מקומית, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.