שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה ${\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{n}]}$, כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר ${\displaystyle U_{n}}$. בפרט, ממד ההרחבה הוא ${\displaystyle \phi (n)}$, כאשר ${\displaystyle \phi }$ היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של ${\displaystyle \zeta _{n}}$ הוא הפולינום הציקלוטומי ${\displaystyle \Phi _{n}}$.

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} [\zeta _{1}]=\mathbb {Q} [\zeta _{2}]=\mathbb {Q} \\\mathbb {Q} [\zeta _{3}]=\mathbb {Q} [\zeta _{6}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\\\mathbb {Q} [\zeta _{4}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]\\\mathbb {Q} [\zeta _{5}]=\mathbb {Q} \left[{\sqrt {\frac {-5-{\sqrt {5}}}{2}}}\right]\\\mathbb {Q} [\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}}]\end{aligned}}}$

מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם ${\displaystyle m,n}$ זרים, אז ${\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{mn}]=\mathbb {Q} [\zeta _{n},\zeta _{m}]}$. למשל ${\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{24}]=\mathbb {Q} [\zeta _{3},\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]}$.

את המצולע המשוכלל בעל ${\displaystyle n}$ צלעות אפשר לבנות בסרגל ובמחוגה (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי ${\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{n}]}$ מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם ${\displaystyle \phi (n)}$ הוא חזקה של שתיים; דבר זה קורה אם ורק אם ${\displaystyle n}$ הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה,

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {{\dfrac {{\sqrt {17}}-1}{2}}+{\sqrt {\dfrac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}+{\sqrt {(3+{\sqrt {17}})\left({\sqrt {17}}-{\sqrt {\dfrac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}\right)}}}{8}}}$

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני ${\displaystyle p}$, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$. הדיסקרימיננטה של ההרחבה ${\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q} }$ היא ${\displaystyle (-1)^{(p-1)/2}p^{p-2}}$, ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של ${\displaystyle p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p}$ (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- ${\displaystyle {\sqrt {5}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{5}]}$, ובדומה לזה ${\displaystyle {\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{7}]}$). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית ${\displaystyle K}$ של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי ${\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{m}]}$. הסדר ${\displaystyle m}$ המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה ${\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q} }$ הוא ${\displaystyle p}$; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: ${\displaystyle \langle p\rangle =\langle 1-\zeta _{p}\rangle ^{p-1}}$.

• גדי אלכסנדרוביץ', חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים, באתר "לא מדויק", 12 בפברואר 2009
• שדה ציקלוטומי, באתר MathWorld (באנגלית)

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}$ • חוג השלמים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון ${\displaystyle \ {\mathbb {H} }}$) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי ${\displaystyle \ {\mathbb {O} }}$) • אלגברות קיילי-דיקסון