מספר מחלקה (תבניות ריבועיות)

במתמטיקה ובתורת המספרים מספר מחלקה של מספר שלם ${\displaystyle d}$ הוא מספר התבניות הריבועיות הבינריות מדסקרימנטה ${\displaystyle d}$ עד כדי שקילות. מושג זה הוגדר על ידי גאוס והוכלל מאוחר יותר על ידי דדקינד למושג מספר מחלקה של שדה מספרים.^[1]

• תבנית ריבועית בינארית היא פונקציה ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} }$ מהצורה ${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$.
• שתי תבניות ${\displaystyle f_{1}}$ ו - ${\displaystyle f_{2}}$ נקראת שקולות אם קימת מטריצה $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$$ בעלת דטרמיננטה 1 עם מקדמים שלמים כך ש: $${\displaystyle f_{1}(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=f_{2}(x,y)}$$
• הדיסקרימיננטה של תבנית רבועית ${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ מוגדרת להיות ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$
• מספר המחלקה של ${\displaystyle d}$ הוא מספר התבניות הבינריות בעלות דיסקרימיננטה ${\displaystyle d}$ עד כדי שקילות.

ערך מורחב – נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

דיריכלה פיתח נוסחה שקושרת בין מספר המחלקה של ${\displaystyle n}$ לבין ערך של פונקציית L של דיריכלה המתאימה לקרקטר ממשי המתאים ל ${\displaystyle n}$.

ערך מורחב – מספר מחלקה (תורת המספרים)

דדקינד הכליל את מושג מספר המחלקה למושג שמגדיר מספר עבור כל שדה מספרים. שני המושגים קשורים באופן הבא: עבור מספר שלם ${\displaystyle d}$, מספר המחלקה של השדה ${\displaystyle \mathbb {Q} \langle {\sqrt {d}}\rangle }$ שווה למספר המחלקה של המספר ${\displaystyle d}$.

• The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood

• מספר מחלקה (תורת המספרים)
• נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

• מספר מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)