מספר מעושר

מספר מעושׂר הוא מספר מצולע מסדר 10, משמע מספר ${\displaystyle D}$ כך שניתן לסדר ${\displaystyle D}$ עצמים בצורת מעושר (מצולע בעל 10 צלעות) משוכלל. המספר המעושר ה-n-י נתון על ידי הנוסחה ${\displaystyle D_{n}=n(4n-3)}$. הנוסחה היא מקרה פרטי של הנוסחה הכללית למספר מצולע.

עשרת המספרים המעושרים הראשונים הם: 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297 ו-370.

המספר המעושר ה-n-י זוגי כאשר n זוגי ואי-זוגי כאשר n אי-זוגי.

השיטה הסטנדרטית למציאת מספרים שהם מספרים מצולעים משני סדרים שונים היא באמצעות פתרון משוואות פל. משיטה זו נובע שאין מספר מעושר שהוא מספר ריבועי (למעט המקרה הטריוויאלי ${\displaystyle D_{1}=1^{2}=1}$). מספרים מעושרים הם המספרים המצולעים מהסדר הקטן ביותר שטענה זו תקפה לגביהם.^[1]

${\displaystyle D_{n}}$ הוא מספר המחלקים השונים של המספר ${\displaystyle 48^{n-1}}$. זאת משום שהפירוק לגורמים שלו הוא ${\displaystyle 48^{n-1}=2^{4n-4}\cdot 3^{n-1}}$, ולכן לפי הנוסחה הידועה לפונקציית המחלקים:

${\displaystyle d(48^{n-1})=(4n-4+1)(n-1+1)=(4n-3)n=D_{n}}$.

אם מתחילים את ספירלת אולם מהמספר 0, במקום מ-1 כמקובל, המספרים המעושרים מופיעים ברצף בשורה האמצעית, המתחילה מ-1 והולכת ימינה.

בתורת הגרפים, אינדקס וינר של גרף הוא סכום של מרחקים בין כל זוגות הצמתים בגרף. ${\displaystyle D_{n}}$ הוא אינדקס וינר של הגרף המורכב משני עותקים של הגרף השלם ${\displaystyle K_{n}}$, המחוברים ביניהם בקשת אחת. תוצאה זו מתקבלת מחישוב ישיר פשוט: יש ${\displaystyle n(n-1)+1}$ זוגות של צמתים שהמרחק ביניהם הוא 1; ${\displaystyle 2(n-1)}$ זוגות עם מרחק 2; ו-${\displaystyle (n-1)^{2}}$ זוגות עם מרחק 3. בסך הכל אינדקס וינר יוצא:

${\displaystyle 1\cdot (n(n-1)+1)+2\cdot 2(n-1)+3\cdot (n-1)^{2}=n(4n-3)=D_{n}}$

• מספרים מעושרים באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
• רשימת 1,000 המספרים המעושרים הראשונים
• מספר מעושר, באתר MathWorld (באנגלית)