פרדוקס המספרים המעניינים הוא פרדוקס מילולי, הנובע מהניסיון לסווג את המספרים הטבעיים למספרים "מעניינים" ו"לא מעניינים".
המספר הקטן ביותר בעל תכונה מסוימת נחשב למעניין. למשל, 1 מעניין משום שהוא המספר הטבעי הקטן ביותר, 2 מעניין בתור המספר הראשוני הראשון, 1,729 מעניין בתור המספר הקטן ביותר שניתן לבטאו כסכום של שתי חזקות שלישיות בשתי דרכים שונות, וכדומה.
נניח שיש מספרים לא מעניינים. אם כך, הקבוצה של המספרים הטבעיים שאינם מעניינים אינה ריקה, ולכן (לפי עקרון הסדר הטוב) חייב להיות בקבוצה איבר מינימלי; עצם העובדה שאיבר זה הוא הקטן ביותר מבין כל המספרים הלא-מעניינים - היא מעניינת כשלעצמה[1], ועל כן מקומו בקבוצת המספרים המעניינים, ולא בקבוצת המספרים הלא-מעניינים. הוכחנו, אם כך, שכל המספרים מעניינים.
הבעיה הנעוצה בלב הפרדוקס היא המושג "מעניין", שאינו מוגדר היטב. ניתן, למשל, לטעון שהיות מספר כלשהו הקטן ביותר בקבוצת הלא-מעניינים אינה הופכת אותו למעניין. יתר על כן, לא ניתן מבחינה מתמטית להגדיר "מספר מעניין" בצורה כזו שאיבר שנמצא בקבוצת המספרים הלא-מעניינים יהיה מספר מעניין בעצמו, מבלי שבהגדרה עצמה תהיה סתירה. הדבר נובע מצורתה המעגלית של ההגדרה: המספר שאנו מוצאים בהוכחה בדרך השלילה הוא מעניין אם הוא לא-מעניין וגם הוא הקטן ביותר מבין הלא-מעניינים. מבחינה לוגית, אמירה זו דומה לאמירה "A הוא B אם A הוא לא B" שהיא סתירה. התייחסות עצמית מסוג זה ידועה במיוחד בפרדוקס השקרן.
ראו גם
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
