צורת ז'ורדן

צורת ז'ורדן של מטריצה ריבועית ${\displaystyle A}$ היא מטריצה דומה ל-${\displaystyle A}$, שיש לה מבנה של מטריצת בלוקים המורכבת מ"בלוקי ז'ורדן" (ראו להלן). צורת ז'ורדן מכלילה את המטריצות האלכסוניות. יתרונה בכך שמעל שדה סגור אלגברית (כמו שדה המספרים המרוכבים) לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן, בעוד שלא כל המטריצות לכסינות. צורת ז'ורדן אמנם כללית יותר מן הצורה האלכסונית, אבל היא נוחה לחישוב כמעט באותה מידה. בדומה לצורה האלכסונית, הערכים באלכסון של צורת ז'ורדן הם הערכים העצמיים של המטריצה.

את התאוריה של צורות ז'ורדן פיתח המתמטיקאי הצרפתי קמי ז'ורדן.

לכל סקלר ${\displaystyle \lambda }$ ולכל סדר ${\displaystyle k}$, בלוק ז'ורדן מסדר ${\displaystyle k}$ המתאים ל-${\displaystyle \lambda }$ הוא המטריצה המשולשית ${\displaystyle J_{k}(\lambda )}$, בגודל ${\displaystyle k\times k}$, שרכיבי האלכסון שלה שווים ל-${\displaystyle \lambda }$, הרכיבים הסמוכים לאלכסון הראשי מעליו שווים ל-1, וכל שאר רכיבי המטריצה הם 0. לדוגמה: בלוק ז'ורדן מסדר 4 המתאים לערך העצמי 9,

${\displaystyle J_{4}(9)={\begin{pmatrix}9&1&0&0\\0&9&1&0\\0&0&9&1\\0&0&0&9\end{pmatrix}}}$

הפולינום המינימלי של בלוק ז'ורדן הוא ${\displaystyle (x-\lambda )^{k}}$, וכל מטריצה (מסדר ${\displaystyle k}$) שזה הפולינום המינימלי שלה דומה לבלוק ז'ורדן המתאים. ההפרש בין כל שני בלוקי ז'ורדן מאותו סדר הוא מטריצה סקלרית, והבלוק המתאים ל-0 הוא מטריצה נילפוטנטית.

מטריצת בלוקים המורכבת מבלוקי ז'ורדן, בסדר כלשהו, נקראת מטריצת ז'ורדן. מטריצות ז'ורדן הן דומות זו לזו רק כאשר הן מורכבות מאותם בלוקים, עד כדי סדר, ולכן המונח "צורת ז'ורדן" מתייחס לפעמים לקבוצת הבלוקים המרכיבים את המטריצה, ולאו דווקא אל המטריצה עצמה.

למטריצה יש צורת ז'ורדן מעל שדה נתון, אם ורק אם הפולינום האופייני של המטריצה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה. בפרט, לכל מטריצה (ממשית או מרוכבת) יש צורת ז'ורדן מעל המספרים המרוכבים.

לכל מטריצה (שיש לה צורת ז'ורדן) יש צורת ז'ורדן יחידה (עד כדי תמורה על סדר הבלוקים). לכן שתי מטריצות דומות זו לזו אם ורק אם יש להן אותה צורת ז'ורדן. מצורת ז'ורדן אפשר להסיק כמה וכמה תכונות של המטריצה, שהן אינווריאנטיות להצמדה:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי ${\displaystyle \lambda }$ (של מטריצה ${\displaystyle A}$) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של ${\displaystyle A}$.
2. החזקה של הגורם ${\displaystyle x-\lambda }$ בפולינום המינימלי של ${\displaystyle A}$ היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל-${\displaystyle \lambda }$ בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של ${\displaystyle \lambda \ }$ בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל-${\displaystyle \lambda }$ בצורת ז'ורדן.
4. לכל ${\displaystyle i}$, הפסד הדרגה, ${\displaystyle k-\mathop {\rm {rank}} J_{k}(0)^{i}}$, הוא הקטן מבין ${\displaystyle k}$ ו-${\displaystyle i}$. מכאן נובע שמספר הבלוקים בגודל ${\displaystyle i}$ של הערך העצמי ${\displaystyle \lambda }$ נתון על ידי הנוסחה: ${\displaystyle N_{i}=\mathop {\rm {rank}} (T-\lambda I)^{i-1}-2\mathop {\rm {rank}} (T-\lambda I)^{i}+\mathop {\rm {rank}} (T-\lambda I)^{i+1}}$. (הבלוקים של ערכים עצמיים אחרים אינם תורמים לחישוב הזה דבר). מכאן נובעת היחידות של צורת ז'ורדן, שהרי הדרגות, ולכן המספרים ${\displaystyle N_{i}}$, נשמרים תחת הצמדה, והם קובעים את צורת ז'ורדן דרך מספר הבלוקים מכל גודל.

לדוגמה, צורת ז'ורדן של מטריצה אלכסונית היא המטריצה האלכסונית עצמה.

אם הערכים העצמיים של המטריצה ידועים, אפשר למצוא את צורת ז'ורדן שלה באמצעות חישוב הדרגות בנוסחה הנתונה בתכונה 4 לעיל. הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי בפולינום האופייני ובפולינום המינימלי מספקים בדרך כלל מידע חלקי; אלא שאם הם שווים, למטריצה יש רק בלוק ז'ורדן אחד המתאים לאותו ערך עצמי.

כידוע, כל מטריצה מייצגת העתקה ליניארית בכל בסיס, והצמדת המטריצה שקולה להחלפת הבסיס; מטריצות צמודות (דומות) מייצגות את אותה העתקה ליניארית. כך אפשר לנסח את התכונות של צורת ז'ורדן בשפה של העתקות ליניאריות: הצמדת מטריצה לצורת ז'ורדן שלה שקולה למציאת פירוק של המרחב הווקטורי ל"תת-מרחבים ציקליים". תת-מרחב ציקלי הוא תת-מרחב ווקטורי שיש לו בסיס הכולל את הווקטורים השונים מאפס בסדרה ${\displaystyle v,T(v),T^{2}(v),\cdots }$ עבור ${\displaystyle v}$ מתאים (ולכן בהכרח ${\displaystyle T^{k}(v)=0}$ ל-${\displaystyle k}$ גדול מספיק; בסיס כזה נקרא בסיס ציקלי של תת-המרחב; ראו גם מודול ציקלי). איחוד הבסיסים האלה בפירוק של המרחב נותן את צורת ז'ורדן של המטריצה המייצגת באופן הבא: אם ${\displaystyle T}$ היא ההעתקה שהמטריצה ${\displaystyle A}$ מייצגת בבסיס הסטנדרטי, אז ${\displaystyle P^{-1}AP}$ היא צורת ז'ורדן של ${\displaystyle A}$ אם ורק אם העמודות של ${\displaystyle P}$ מהוות בסיס בעל המבנה הציקלי הנזכר לעיל.

תהי ${\displaystyle T}$ טרנספורמציה ליניארית שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה, ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k}}$ הערכים העצמיים השונים, ותהי ${\displaystyle A}$ המטריצה המייצגת של ${\displaystyle T}$ בבסיס הסטנדרטי. נראה כיצד למצוא בסיס על פיו מיוצגת ${\displaystyle T}$ על ידי מטריצת ז'ורדן. לכל ערך עצמי ${\displaystyle \lambda _{i}}$ של ${\displaystyle T}$ נסמן ב-${\displaystyle m_{i}}$ את הריבוי האלגברי של ${\displaystyle \lambda _{i}}$. יהי ${\displaystyle V_{i}}$ המרחב העצמי המוכלל של ${\displaystyle \lambda _{i}}$, שהוא אוסף כל הווקטורים עבורם קיים ${\displaystyle r}$ כך ש: ${\displaystyle (T-\lambda _{i}I)^{r}v=0}$. נסמן ב-${\displaystyle T_{|V_{i}}}$ את הצמצום של ${\displaystyle T}$ אל המרחב ${\displaystyle V_{i}}$ (שהוא מוגדר היטב מכיוון ש-${\displaystyle V_{i}}$ הוא תת-מרחב אינווריאנטי). הטרנספורמציה ${\displaystyle T_{|V_{i}}}$ היא נילפוטנטית מסדר ${\displaystyle r_{i}}$ (ולמעשה ${\displaystyle r_{i}\leq m_{i}}$).

כעת, אפשר להוכיח שכל מרחב עצמי מוכלל הוא סכום ישר של תתי-מרחבים ציקליים; לכל אחד מתתי-המרחבים הציקליים יש בסיס ציקלי והאיחוד של בסיסים אלה יוצר בסיס למרחב כולו.

• אלגברה ליניארית 2, יחידות 10,11 האוניברסיטה הפתוחה, תשפ"ד
• שמשון עמיצור, אלגברה א', האוניברסיטה העברית, תש"ל

• משפט ז'ורדן, באתר Math-Wiki
• צורת ז'ורדן, באתר MathWorld (באנגלית)