Vektorsko polje

U matematici i fizici vektorsko polje je polje koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.

Neki od diferencijalnih operatora primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Neka ${\displaystyle X_{0}}$ označava skup svih radijvektora u koordinatnom sustavu ${\displaystyle \left(O,x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k}\right);k=\dim D}$, tj.

${\displaystyle X_{0}=\{{\overrightarrow {OM}}|M=(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k})\in \mathbb {R} ^{n}\}}$

Radijvektor je reprezentant (predstavnik) vektora kao klase usmjerenih dužina koji početak ima u ishodištu koordinatnog sustava. Neka je ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ skup koordinata.

Tada je svaka funkcija

${\displaystyle \mathbf {F} :D\mapsto X_{0}}$

vektorska funkcija skalarne varijable, ili kraće vektorska funkcija ili vektorsko polje. Drugim riječima, vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Neka je ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ i ${\displaystyle V_{x}:S\mapsto \mathbb {R} ^{n}}$ vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ako je ${\displaystyle Y}$ neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle V_{Y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V_{x}.}$

Za V se kaže da je C^k vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

• Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje nad ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, gdje su svakoj točki prostora u svakom trenutku vremena ${\displaystyle \left(x,y,z,t\right)}$ pridružene brzine

${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t)\,{\vec {\imath }}+v_{y}(x,y,z,t)\,{\vec {\jmath }}+v_{z}(x,y,z,t)\,{\vec {k}}}$,

• Brzina protjecanja fluida kroz cijev,
• Opis magnetskog djelovanja,
• Opis električnog djelovanja,
• Gravitacija.

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

• Potencijalno ili bezvrtložno:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}$

${\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}}$

• Solenoidno ili bezizvorno:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}}$

${\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}$

• Laplaceovo:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}$

${\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}}$

• Polje općeg oblika ili složeno polje:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}}$

${\displaystyle {\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}}$

• Tok polja
• Divergencija
• Rotacija polja
• Električno polje
• Magnetsko polje
• Elektromagnetsko polje

• Skalarna i vektorska polja. Gradijent.
• Skalarna i vektorska polja.
• Wolfram: Vector Fields
• 2D Vector Field Simulation
• 3D Vector Field Simulation