Konstanta Apéry

Konstanta Apéry

Rasionalitas	Irasional
Simbol	ζ(3)
Representasi
Desimal	1.2020569031595942854...
Dalam bentuk pecahan berlanjut	${\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}$
Dalam bilangan biner	1.0011001110111010...
Dalam heksadesimal	1.33BA004F00621383...

Dalam matematika, konstanta Apéry adalah jumlah dari invers perkalian denagan pangkat kubik positif. Artinya, konstanta Apéry didefinisikan sebagai bilangan$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right)\end{aligned}}}$$dengan ζ adalah fungsi zeta Riemann. Bilangan ini memiliki nilai yang kira-kira sama dengan^[1]

ζ(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292… (barisan A002117 pada OEIS).

Konstanta Apéry dinamai dari Roger Apéry. Konstanta ini biasanya ditemukan dalam sejumlah masalah fisik, di antaranya dalam suku orde kedua dan ketiga rasio gyromagnetic elektron dengan menggunakan elektrodinamika kuantum. Konstanta ini juga ditemukan dalam analisis pohon rentang minimum acak,^[2] serta mempunyai hubungan dengan fungsi gamma ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi, yang kadangkala ditemukan dalam fisika, sebagai contoh, ketika mengevaluasi kasus dimensi dua dari model Debye dan hukum Stefan–Boltzmann.

ζ(3) disebut sebagai konstanta Apéry, konstanta yang dinamai dari matematikawan berkebangsaan Prancis, Roger Apéry. Roger Apéry membuktikan bahwa konstanta itu adalah bilangan irasional pada tahun 1978.^[3] Hasil tersebut dikenal sebagai teorema Apéry. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,^[4] tetapi kemudian ditemukan bukti yang lebih sederhana.^[5]

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integran dari integral rangkap tiga untuk ${\displaystyle \zeta (3)}$,$${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,}$$ dengan menggunakan polinomial Legendre. Secara khusus, artikel van der Poorten menulis pendekatan ini dengan menyatakan bahwa $${\displaystyle I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},}$$

dengan ${\textstyle |I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}}$, ${\textstyle P_{n}(z)}$ adalah polinomial Legendre, dan suburutan ${\textstyle b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z} }$ adalah bilangan bulat atau hampir bilangan bulat. Akan tetapi, masalah yang menanyakan apakah konstanta Apéry adalah transendental masih belum terpecahkan.

Selain mempunyai deret$${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},}$$Leonhard Euler memberikan representasi deret^[6]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)}$$pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali.^[7]

Sejak pada abad ke-19, sejumlah matematikawwan telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung letak desimal ζ(3). Sejak pada tahun 1990-an, terdapat riset yang bertujuan untuk mencari deret yang efisien secara komputasional dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "Digit yang diketahui").

Representasi deret berikut ditemukan oleh Andrey Markov pada tahun 1890,^[8] kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,^[9] dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:^[3]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.}$$Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal terbaru per suku:^[10]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.}$$

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan terbaru per suku:^[11]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.}$$

Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:^[12]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.}$$Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan jutaan pembulatan letak desimal.^[13]

Representasi deret berikut ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005, yang memberikan (secara asimtotik) 3,92 dengan pembulatan letak desimal desimal terbaru per suku:^[14]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.}$$

Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan representasi deret yang memungkinkan menghitung digit biner sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam waktu linier dekat, dan ruang logaritma.^[15]

Representasi deret berikut ditemukan oleh Ramanujan:^[16]$${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.}$$

Representasi deret berikut ditemukan oleh Simon Plouffe pada tahun 1998:^[17]$${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}$$

(Srivastava 2000) mengumpulkan banyak deret yang konvergen menuju ke konstanta Apéry.

Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Ada representasi integral yang sederhana, adapula yang tidak.

Terdapat rumus lain, yaitu^[18]$${\displaystyle \zeta (3)=\pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx,}$$dan^[19]$${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{\,xy\,}}\,dx\,dy.}$$

Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:^[20]$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\log \log {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx.\end{aligned}}}$$Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari fungsi gamma$${\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1),}$$dan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan fungsi poligamma.^[21]

Selama beberapa dekade terakhir, jumlah digit yang diketahui dari konstanta Apéry ζ(3) semakin banyak. Hal ini disebabkan karena peningkatan kinerja komputer dan algoritme yang berkembang.

• Fungsi zeta Riemann
• Masalah Basel — ζ(2)
• Daftar jumlah timbal balik

Templat:PlanetMath attribution