Norma (matematika)

Dalam matematika, norma adalah fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal; peta dengan penskalaan, mematuhi bentuk dari segitiga pertidaksamaan, dan hanya nol pada titik awal. Secara khusus, jarak Euclidean vektor dari asalnya adalah sebuah norma, yang disebut norma Euclidean, atau 2-norma, yang juga dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali dalam vektor dengan dirinya sendiri.

Pseudonorma atau seminorma memenuhi dua sifat pertama dari suatu norma, tetapi mungkin nol untuk vektor lain selain asalnya.^[1] Ruang vektor dengan norma tertentu disebut ruang vektor bernorma. Dengan cara yang sama, ruang vektor dengan seminorm disebut ruang vektor seminorma .

Definisi

Diberikan ruang vektor $V$ di atas bidang $𝔽$ dari bilangan real $ℝ$ atau bilangan kompleks $ℂ$ , norma pada V adalah fungsi bernilai nonnegatif $p : V \to ℝ$ dengan sifat berikut:^[2]

Pada $a \in 𝔽$ dan $u, v \in V$ ,

$p (u + v) \leq p (u) + p (v)$ (menjadi subaditif atau memenuhi segitiga pertidaksamaan ).
$p (a v) = | a | p (v)$ (menjadi absolut homogen atau diskalakan ).
Jika $p (v) = 0$ kemudian $v = 0$ adalah vektor nol (menjadi pasti positif atau menjadi pemisah titik ).

Seminorma dengan V adalah fungsi $p : V \to ℝ$ dengan sifat 1 dan 2 di atas.^[3]

Norma ekuivalen

Misalkan $p$ dan $q$ adalah dua norma (atau seminorma) pada ruang vektor $V$ . Kemudian $p$ dan $q$ disebut ekuivalen, jika terdapat dua konstanta nyata $c$ dan $C$ dengan $c > 0$ maka setiap vektor $v \in V$ ,

c q (v) \leq p (v) \leq C q (v)

.

Norma $p$ dan $q$ setara jika dan hanya jika mereka menginduksi topologi yang sama di $V$ .^[4] Dua norma dengan ruang berdimensi hingga adalah ekuivalen, tetapi ini tidak meluas ke ruang berdimensi tak hingga.^[4]

Notasi

Jika norma $p : X \to ℝ$ diberikan pada ruang vektor $X$ , maka norma vektor $v \in X$ biasanya dilambangkan dengan melampirkannya dalam garis vertikal ganda: $\|v\|=p(v).$ Notasi seperti itu terkadang juga digunakan jika $p$ hanya berupa seminorma. Untuk panjang sebuah vektor dalam ruang Euclidean (yang merupakan contoh dari sebuah norma, seperti dijelaskan di bawah), notasi $| v |$ dengan garis vertikal tunggal juga tersebar luas.

Dalam LaTeX dan bahasa markup terkait, bilah ganda notasi norma dimasukkan dengan makro \|, yang dirender sebagai $\|.$ Garis vertikal ganda yang digunakan untuk menunjukkan garis sejajar, operator paralel dan penambahan paralel dimasukkan dengan \parallel dan dirender sebagai $\parallel .$ Meskipun terlihat serupa, kedua makro ini tidak boleh disalahartikan sebagai \| menunjukkan braket dan \parallel menunjukkan operator. Oleh karena itu, ukuran dan ruang di sekitarnya tidak dihitung dengan cara yang sama. Demikian pula, batang vertikal tunggal dikodekan sebagai | saat digunakan sebagai braket, dan sebagai \mid saat digunakan sebagai operator.

Di Unicode, titik kode dari "garis vertikal ganda" karakter ‖ adalah U + 2016. Simbol "garis vertikal ganda" tidak sama dengan simbol "sejajar", Unicode U+2225 (∥), yang dimaksudkan untuk menunjukkan garis paralel dan operator paralel. Garis vertikal ganda juga tidak sama dengan Unicode U+01C1 (ǁ), bertujuan untuk menunjukkan klik lateral dalam linguistik.

Garis vertikal tunggal | disebut "garis vertikal", dalam Unicode dan titik kodenya adalah U+007C.

Sifat

Untuk norma p pada ruang vektor V , segitiga terbalik ketidaksamaan berlaku: untuk u dan v ∈ V,

p(u ± v) ≥ |p(u) − p(v)|

Jika $u : X \to Y$ adalah peta linier kontinu antara ruang bernorma, maka norma $u$ dan norma transpos dari $u$ adalah sama.^[5]

Untuk L^p norma, kami memiliki pertidaksamaan Hölder^[6]

\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \left\|x\right\|_{p}\left\|y\right\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.

Kasus khusus tentang ini adalah pertidaksamaan Cauchy–Schwarz:^[6]

$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \left\|x\right\|_{2}\left\|y\right\|_{2}.$

Ekuivalen

Konsep lingkaran satuan (himpunan semua vektor norma 1) berbeda dalam norma yang berbeda: untuk 1-norma, lingkaran satuan adalah persegi, untuk 2-norma (norma Euklidean), itu adalah unit terkenal lingkaran, sedangkan untuk norma tak terhingga, itu adalah persegi yang berbeda. Untuk norma p , itu adalah superellipse dengan sumbu kongruen (lihat ilustrasi yang menyertai). Karena definisi norma, lingkaran satuan harus cembung dan simetris secara terpusat (oleh karena itu, misalnya, bola satuan mungkin persegi panjang tetapi tidak boleh segitiga, dan $p\geq 1$ untuk p -norma).

Dalam kaitannya dengan ruang vektor, seminorm mendefinisikan topologi pada ruang, dan ini adalah topologi Hausdorff persis ketika seminorm dapat membedakan antara vektor yang berbeda, yang lagi-lagi setara dengan seminorm yang menjadi norma. Topologi yang didefinisikan (baik oleh norma atau seminorm) dapat dipahami baik dari segi urutan atau set terbuka. Urutan vektor $\{v_{n}\}$ dikatakan konvergen secara normal ke $v$ , jika $\left\|v_{n}-v\right\|\rightarrow 0$ sebagai $n\to \infty$ . Secara ekuivalen, topologi terdiri dari semua himpunan yang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari bola terbuka. Jika $(X, Templat:Norm)$ adalah ruang bernorma maka $Templat:Norm = Templat:Norm + Templat:Norm$ maka $x, y, z \in X$ .^[7]

Dua norma ‖•‖_α dan ‖•‖_β pada ruang vektor V disebut ekuivalen jika mereka menginduksi topologi yang sama,^[4] yang terjadi jika dan hanya jika ada bilangan real positif C dan D sehingga untuk semua x dalam V

C\left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\leq D\left\|x\right\|_{\alpha }.

Misalnya, jika p > r ≥ 1 pada $\mathbf {C} ^{n}$ , maka

\left\|x\right\|_{p}\leq \left\|x\right\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\left\|x\right\|_{p}

^[8]

Khususnya,

\left\|x\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{2}

\left\|x\right\|_{\infty }\leq \left\|x\right\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{\infty }

\left\|x\right\|_{\infty }\leq \left\|x\right\|_{1}\leq n\left\|x\right\|_{\infty },

That is,

\left\|x\right\|_{\infty }\leq \left\|x\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{2}\leq n\left\|x\right\|_{\infty }.

Jika ruang vektor adalah ruang nyata atau kompleks berdimensi-hingga, semua norma adalah ekuivalen. Di sisi lain, dalam kasus ruang vektor berdimensi tak hingga, tidak semua norma setara.

Norma yang setara mendefinisikan pengertian yang sama tentang kontinuitas dan konvergensi dan untuk banyak tujuan tidak perlu dibedakan. Lebih tepatnya struktur seragam yang didefinisikan oleh norma ekivalen pada ruang vektor adalah isomorfik seragam.

Lihat pula

Norma asimetri – fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal
F-seminorma – fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal
Norma Gowers – fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal
Jarak Mahalanobis
Besaran (matematika)
Norma matriks – fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal
Fungsi Minkowski – fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal
Norma operator
Paranorma – fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal
Relasi norma dan metrik – fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal
Seminorma – fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal
Fungsi sublinear – fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal

Referensi

^ Knapp, A.W. (2005). Basic Real Analysis. Birkhäuser. hlm. [1]. ISBN 978-0-817-63250-2.
^ Pugh, C.C. (2015). Real Mathematical Analysis. Springer. hlm. page 28. ISBN 978-3-319-17770-0. Prugovečki, E. (1981). Quantum Mechanics in Hilbert Space. hlm. page 20.
^ Rudin, W. (1991). Functional Analysis. hlm. 25.
^ ^a ^b ^c Conrad, Keith. "Equivalence of norms" (PDF). kconrad.math.uconn.edu. Diakses tanggal September 7, 2020.
^ Trèves 2006, hlm. 242–243.
^ ^a ^b Golub, Gene; Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations (edisi ke-Third). Baltimore: The Johns Hopkins University Press. hlm. 53. ISBN 0-8018-5413-X.
^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 107-113.
^ "Relation between p-norms".