Ruang singgung Zariski

Pada geometri aljabar, ruang singgung Zariski (bahasa Inggris: Zariski tangent space) didefinisikan sebagai ruang tangen pada titik P di suatu varietas aljabar V. Konstruksi geometris ini tidak menggunakan kalkulus ataupun derivatif, dan hanya didasarkan pada aljabar abstrak. Versi konkret dari ruang singgung Zariski dapat diilustrasikan dengan menggunakan sistem persamaan linear.

Definisikan kurva C pada suatu bidang berdimensi dua melalui persamaan polinomial berikut,

F(X,Y)=0

dan representasikan P sebagai titik asal (0, 0). Jika suku-suku dengan derajat total lebih daripada satu pada F(X, Y) dihilangkan, kita akan memeroleh "versi linear" dari F(X, Y). Misalkan

L(X,Y)=0

adalah "versi linear" dari F(X, Y) yang dideskripsikan sebelumnya.

Maka, L bernilai konstan 0 atau merepresentasikan suatu persamaan garis. Pada kasus L bernilai konstan 0, ruang singgung (Zariski) dari kurva C di titik (0, 0) adalah seluruh bidang, yang dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi dua. Jika L merupakan garis, maka ruang tangen dari kurva C adalah garis L itu sendiri, dengan menganggap L sebagai ruang afin. Jika P bukan lagi titik asal dan merupakan sembarang titik di C, lebih tepat mengatakan bahwa ruang singgung di titik P adalah ruang afin dan P merupakan kandidat titik asal yang natural untuk ruang ini daripada sebagai ruang vektor.

Pada lapangan real, ruang L dapat dicari dengan menggunakan turunan parsial pertama F. Jika turunan parsial pertama F terhadap X dan Y di titik P bernilai 0, maka P disebut titik singular (titik ganda, taring, atau mungkin lebih rumit). Secara umum, titik P disebut titik singular kurva C apabila dimensi ruang singgungnya adalah dua.

Ruang ko-singgung (cotangent space) dari gelanggang lokal ${\displaystyle R}$, dengan ideal maksimal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ didefinisikan sebagai

${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$

Modul ini dapat dipandang sebagai ruang vektor-${\displaystyle k}$ dengan ${\displaystyle k}$ adalah lapangan residu ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$. Dual dari ruang kotangen (sebagai ruang vektor-${\displaystyle k}$) disebut ruang tangen dari ${\displaystyle R}$. ^[1]

Definisi ini merupakan perumuman contoh di atas ke dimensi yang lebih tinggi: misalkan ${\displaystyle V}$ merupakan varietas aljabar afin dan ${\displaystyle v}$ adalah titik di ${\displaystyle V}$. Secara konkret, modulo ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$ pada definisi ruang kotangen dapat dipandang sebagai proses menghapus suku-suku nonlinear dari persamaan yang mendefinisikan ${\displaystyle V}$ dalam ruang afin. Hal ini analog dengan apa yang kita lakukan pada bagian Motivasi laman ini untuk memeroleh sistem persamaan linear yang mendefinisikan ruang singgung.

Ruang singgung ${\displaystyle T_{P}(X)}$ dan ruang ko-singgung ${\displaystyle T_{P}^{*}(X)}$ dari skema ${\displaystyle X}$ di titik ${\displaystyle P}$ adalah ruang (ko-)singgung dari gelanggang lokal ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,P}}$. Karena fungtor ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ fungtorial, homomorfisme faktor alami ${\displaystyle f:R\to R/I}$ menginduksi homomorfisme ${\displaystyle g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}}$ dengan ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} R}$ dan ${\displaystyle P}$ adalah suatu titik di ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} R/I}$. Homomorfisme ini digunakan untuk "memasukkan" ruang tangen ${\displaystyle T_{P}(Y)}$ ke dalam ruang tangen ${\displaystyle T_{f^{-1}P}(X)}$ .^[2] Karena homomorfisme dari lapangan bersifat injektif, homomorfisme surjektif lapangan residu yang diinduksi oleh ${\displaystyle g}$ merupakan suatu isomorfisme. Dengan demikian, ${\displaystyle g}$ menginduksi morfisme-${\displaystyle k}$ antar ruang ko-singgung yang didefinisikan melalui

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)}$

${\displaystyle \cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).}$

Karena pemetaan ini adalah surjektif, transpose ${\displaystyle k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)}$ bersifat injektif.

(Seringkali ruang singgung dan ko-singgung untuk manifold didefinisikan dengan cara yang analog.)

Misalkan ${\displaystyle V}$ adalah subvarietas dari ruang vektor berdimensi ${\displaystyle n}$ yang didefinisikan oleh ideal ${\displaystyle I}$, sehingga ${\displaystyle R=F_{n}/I}$, dengan ${\displaystyle F_{n}}$ adalah gelanggang fungsi mulus/analitik/holomorfik pada ruang vektor tersebut. Ruang singgung Zariski di titik ${\displaystyle x}$ adalah

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2})}$,

dengan ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ adalah ideal maksimal yang berisi fungsi-fungsi di ${\displaystyle F_{n}}$ yang lenyap di ${\displaystyle x}$.

Jika ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ adalah gelanggang Noether lokal, dimensi dari ruang tangen bernilai lebih besar atau sama dengan dimensi Krull dari ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle \dim m/m^{2}\geq \dim R}$

Gelanggang ${\displaystyle R}$ adalah gelanggang regular jika kesamaan terjadi. Dalam geometri aljabar, jika ${\displaystyle R}$ adalah gelanggang lokal pada varietas ${\displaystyle V}$ di titik ${\displaystyle v}$ dan ${\displaystyle R}$ merupakan gelanggang regular, maka titik ${\displaystyle v}$ disebut titik regular. Jika ${\displaystyle v}$ bukan merupakan titik regular, maka titik ${\displaystyle v}$ disebut titik singular.

Ruang tangen Zariski juga memiliki interpretasi melalui ${\displaystyle \operatorname {Spec} k[t]/(t^{2})}$. Misalkan ${\displaystyle X}$ adalah skema-${\displaystyle k}$ dan ${\displaystyle x}$ adalah titik rasional-${\displaystyle k}$ di ${\displaystyle X}$. Maka, morfisme-${\displaystyle k}$ dari ${\displaystyle \operatorname {Spec} k[t]/(t^{2})}$ ke skema ${\displaystyle X}$ dengan imej ${\displaystyle \{x\}}$ berkorespondensi satu-satu dengan elemen yang ada pada ruang tangen Zariski di titik ${\displaystyle x}$.

Secara umum, dimensi ruang tangen Zariski dapatmenjadi sangat besar. Sebagai contoh, misalkan ${\displaystyle C^{1}(\mathbf {R} )}$ adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di ${\displaystyle \mathbf {R} }$. Misalkan ${\displaystyle R=C_{0}^{1}(\mathbf {R} )}$ adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di titik asal. Maka, ${\displaystyle R}$ adalah gelanggang lokal dengan ideal maksimal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ terdiri atas fungsi-fungsi di ${\displaystyle R}$ yang bernilai nol di titik asal. Fungsi-fungsi berbentuk ${\displaystyle x^{\alpha }}$ dengan ${\displaystyle \alpha \in (1,2)}$ membentuk himpunan bebas linear di ruang kotangen Zariski ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$, sehingga dimensi dari ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m^{2}}}}$ memiliki dimensi minimal ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, kardinalitas dari kontinuum. Maka, dimensi dari ruang tangen Zariski ${\displaystyle ({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})^{*}}$ bernilai minimal ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$. Di sisi lain, gelanggang fungsi mulus di suatu titik pada manifold berdimensi ${\displaystyle n}$ merupakan ruang kotangen Zariski berdimensi-${\displaystyle n}$.[1]