Anatolij Solov'ëv lavorò dal 1972 al 1976 come pilota e comandante nel distretto militare estremo orientale. Dall'agosto 1976 fu un apprendista cosmonauta al Centro di addestramento cosmonauti Jurij Gagarin. Nel gennaio 1979, terminò gli studi. Dal 1979 al 1984, fu addestrato per far parte di missioni con la Sojuz-T, la Saljut 7 e di una missione verso la stazione orbitale Mir come collaudatore.
Il primo volo spaziale di Solov'ëv avvenne nel 1988 con la Sojuz TM-5. Dall'11 febbraio al 9 agosto 1990, il colonnello Solov'ëv compì un volo a lungo termine (179 giorni) sulla stazione Mir con la Sojuz TM-9. Successivamente è tornato nello spazio con la Sojuz TM-15. Fu il comandante di un volo russo per la Mir-18 sulla Sojuz TM-21 facente parte del programma Mir-Shuttle; nell'ambito dello stesso programma ha volato sullo Space Shuttle Atlantis nel 1995 con la missione STS-71. Ha effettuato il suo ultimo volo spaziale nel 1997 con la Sojuz TM-26. Solov'ëv detiene il record per il maggior tempo trascorso in attività extraveicolari: oltre 82 ore.
«Per il suo contributo nel campo della ricerca, dello sviluppo e dell'utilizzo dello spazio esterno e per i tanti anni di lavoro diligente per attività pubbliche» — 12 aprile 2011
^ Mark Wade, Solovyev web page, in Encyclopedia Astronautica, 2008. URL consultato il 12 gennaio 2009 (archiviato dall'url originale il 25 dicembre 2008).