Costante di Gel'fond

Costante di Gel'fond
Simbolo	${\displaystyle e^{\pi }}$
Valore	23,1406926327792690057290... (sequenza A039661 dell'OEIS)
Origine del nome	Aleksandr Osipovič Gel'fond
Frazione continua	[23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, ...] (sequenza A058287 dell'OEIS)
Insieme	numeri trascendenti
Costanti correlate	Pi greco, e

La costante di Gel'fond è un numero trascendente il cui valore è e elevato alla π,

${\displaystyle e^{\pi }=23,1406926327...}$

Prende il nome dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond, che nel 1934 ne provò la trascendenza come conseguenza del suo teorema di Gel'fond.

Il suo sviluppo in frazione continua è

${\displaystyle [23,7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,1,4,1,2,108,\cdots ].}$

Dalla formula di Eulero si può ricavare che:

${\displaystyle e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.}$

Elevando entrambi i membri alla i, avremo, ricordando che ${\displaystyle i^{2}=-1}$:

${\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}},}$

cioè

${\displaystyle e^{\pi }={\frac {1}{i^{2i}}}=i^{-2i};}$

i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, e quindi per il teorema di Gel'fond ${\displaystyle e^{\pi }}$ non può essere algebrico.

Il valore della costante di Gel'fond può essere calcolato rapidamente usando la seguente sequenza:

${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}},}$

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}.}$

L'espressione

${\displaystyle (4/k_{n})^{2^{1-n}}}$

converge allora rapidamente ad ${\displaystyle e^{\pi }}$

Il volume di una sfera di dimensione n (un'ipersfera) è dato da

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}},}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ è la funzione gamma. Di conseguenza, se si considerano solo le ipersfere di raggio unitario e dimensione pari, si ha che:

${\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}},}$

ricordando che ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ per n intero. Di conseguenza, sommando questi valori, si ha

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}=e^{\pi },}$

perché il secondo membro è lo sviluppo in serie di Taylor dell'esponenziale.

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Gel'fond, su MathWorld, Wolfram Research.

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