Equazione di Legendre

In matematica, l'equazione di Legendre, il cui nome si deve a Adrien-Marie Legendre, è l'equazione differenziale lineare del secondo ordine

${\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+ky=0\qquad x\in (-1,1).}$

Si tratta di un problema di Sturm-Liouville con ${\displaystyle p(x)=1-x^{2}}$, ${\displaystyle q(x)=0}$ e coefficiente uguale a 1. Si può scrivere anche nella forma:

${\displaystyle ((1-x^{2})y')'+ky=0}$

Nella forma più generale:

${\displaystyle (1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})-\alpha ^{2})y=0}$

oppure:

${\displaystyle (1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})+\alpha ^{2})y=0}$

Le loro soluzioni generali, chiamate armoniche sferiche, sono esprimibili come combinazione lineare:

${\displaystyle y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)}$

dove ${\displaystyle y_{1}(x)}$ e ${\displaystyle y_{2}(x)}$ sono soluzioni parziali linearmente indipendenti, chiamate funzioni sferiche.

L'equazione di Legendre è legata all'equazione di Laplace in coordinate sferiche:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }^{2}}}+\cot(\theta ){\frac {\partial {Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }}}+{\frac {1}{\sin ^{2}{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\varphi }^{2}}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0}$

con la condizione al contorno:

${\displaystyle Y(\theta ,\varphi +2\pi )=Y(\theta ,\varphi )}$

dove ${\displaystyle l}$ è un intero positivo. Si tratta di un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari ${\displaystyle r,\theta ,\varphi }$, ed è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili. Cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti:

${\displaystyle Y(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi )}$

da cui, sostituendo e moltiplicando per ${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}{\theta }}{\Theta \Phi }}}$ si ottiene:

${\displaystyle \sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )+{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}=0}$

dalla quale si vede che deve essere:

${\displaystyle \sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )=-{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}={\text{costante}}}$

Ricordando poi la condizione di periodicità, la costante di separazione dovrà essere pari a ${\displaystyle -\alpha ^{2}}$ con m numero intero. Si ha dunque come soluzione della parte in ${\displaystyle \Phi }$:

${\displaystyle \Phi (\varphi )=e^{\pm i\alpha \varphi }}$

mentre si vede che la parte in ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ deve soddisfare la relazione:

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )\Theta ^{''}+\sin(\theta )\cos(\theta )\Theta ^{'}+{(l(l+1)\sin ^{2}(\theta )-\alpha ^{2})}\Theta =0}$.

Per risolvere quest'ultima converrà fare un cambiamento di variabile e sostituire ${\displaystyle \cos(\theta )=x}$ e si ritrova:

${\displaystyle (1-x^{2})^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Theta }{\mathrm {d} x^{2}}}-2x(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}+(l(l+1)(1-x^{2})-\alpha ^{2})\Theta =0}$

Nella forma:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0}$

è a sua volta un caso particolare del problema di Sturm-Liouville.

• (EN) Milton Abramowitz e Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964) (capitolo 8 e capitolo 22)
• (DE) Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen (in tedesco, Georg Reimer; Berlino, 1861)
• (EN) Isaac Todhunter, An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions, London, MacMillan, 1875. URL consultato l'11 settembre 2021.
• (EN) Norman MacLeod Ferrers An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them (MacMillan, London, 1877)
• (EN) William Ellwood Byerly An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics. (Ginn & co., Boston, 1893)
• (EN) Francis A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2) (Longman Greens & co., 1913) (capitolo 1)
• (EN) Edmund T. Whittaker and George N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitolo 15)

• Armoniche sferiche
• Equazioni di Bessel
• Tavola delle armoniche sferiche

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su equazioni di Legendre

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Legendre, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Laplace's Equation--Spherical Coordinates, in MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Infinite Interior Boundary Value Problem: Waves Propagating in a Cylindrical Pipe, su math.ohio-state.edu. URL consultato il 14 dicembre 2011 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2006).

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