In matematica, nel campo della combinatoria, si dice fattoriale crescente di base q nella x relativo a
la serie
per le variabili complesse x e q; se si pongono problemi di convergenza chiediamo che sia |q|<1.
Si dice invece fattoriale crescente di base q nella x relativo al numero complesso n
Se n è un intero naturale
Risulta quindi individuata una famiglia di successioni di polinomi nella x parametrizzata da q che inizia con i seguenti componenti:
![{\displaystyle (x;q)_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0cf48a7c5a816d3af9b9c42aaa976bdc8b60324)
![{\displaystyle (x;q)_{1}=1-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6421106a069a0d554148bf94c1c9335520beaa0c)
![{\displaystyle (x;q)_{2}=(1-x)(1-qx)=1-(1+q)x+qx^{2}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61830a0b207a63ae4f157a70ba15608ff5bd68db)
![{\displaystyle \,(x;q)_{3}=(1-x)(1-qx)(1-q^{2}x)=1-(1+q+q^{2})x+(q+q^{2}+q^{3})x^{2}-q^{3}x^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4b14b4e0d7e6a202d274d94c35261e74d8fb8d)
Questi polinomi (formali) sono chiamati anche q-fattoriali crescenti, q-simboli di Pochhammer e simboli di Pochhammer di base q. Essi sono ampiamente utilizzati nelle formule esprimenti proprietà delle serie ipergeometriche di base q.
Notazione con argomenti multipli
Dato che le identità che coinvolgono i q-simboli di Pochhammer spesso contengono il prodotto di più simboli, convenzionalmente si scrive un prodotto come un unico simbolo con argomenti multipli:
![{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m};q)_{n}=(x_{1};q)_{n}(x_{2};q)_{n}\ldots (x_{m};q)_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07dfa935055ff0df4f30c5177c11fcdd65d227e)
Bibliografia
Voci correlate
Collegamenti esterni