Funzione di ripartizione

In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa) è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione, o funzione di probabilità cumulata, di una variabile casuale ${\displaystyle X}$ a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore ${\displaystyle x}$ la probabilità del seguente evento: "la variabile casuale ${\displaystyle X}$ assume valori minori o uguali ad ${\displaystyle x}$".

In altre parole, è la funzione ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$ con dominio la retta reale e immagine nell'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ definita da

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x).}$

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e

${\displaystyle F(x)\geq 0,\quad \forall x}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se ${\displaystyle X}$ è una variabile casuale discreta e ${\displaystyle z}$ un punto del suo supporto, allora ${\displaystyle F}$ è una funzione a gradino e dunque

${\displaystyle \lim _{x\to z^{-}}F(x)=\lim _{x\to z^{-}}\sum _{i=1}^{n}p(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}p(x_{i})}$

(ponendo senza restrizioni di generalità ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}<x<z}$) poiché è una costante indipendente da ${\displaystyle x}$, mentre

${\displaystyle F(z)=\sum _{i=1}^{n}p(x_{i})+p(z)}$

dunque essendo ${\displaystyle p(z)\neq 0}$ si ha che ${\displaystyle F}$ non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile ${\displaystyle A}$ associa la probabilità che ${\displaystyle X}$ cada in ${\displaystyle A}$^[1].

Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione ${\displaystyle F(x^{-}):=\lim _{t\to x^{-}}F(t)}$:

• ${\displaystyle \operatorname {P} (X<x)=F(x^{-})}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X<b)=F(b^{-})-F(a^{-})}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)=F(b)-F(a^{-})}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a<X<b)=F(b^{-})-F(a)}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X=b)=F(b)-F(b^{-})}$

Se ${\displaystyle X}$ è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di ${\displaystyle X}$ può essere espressa come funzione integrale:

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du}$

ove ${\displaystyle f}$ è detta funzione di densità di ${\displaystyle X}$. Si può anche considerare la relazione inversa:

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

Se ${\displaystyle X}$ è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},\ldots }$)

${\displaystyle F(x)=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})}$

dove ${\displaystyle p(x)=P(X=x)}$ è detta funzione di probabilità di ${\displaystyle X}$.

Se ${\displaystyle X}$ è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<1\\\lfloor x\rfloor /6&1\leq x<6\\1&x\geq 6\end{cases}}}$

dove con ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ si indica la parte intera di x.

Se ${\displaystyle X}$ è la variabile casuale uniforme continua in ${\displaystyle [0,1]}$ si ha

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<0\\x&0\leq x<1\\1&x\geq 1\end{cases}}}$.

In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore ${\displaystyle x}$ (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza ${\displaystyle S}$ (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:

${\displaystyle S(x)=P(X>x)=1-F(x)}$

Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:

${\displaystyle S(x)=\int _{x}^{+\infty }f(t)dt}$

e

${\displaystyle S(x)=\sum _{t>x}p(t).}$

Ogni funzione di sopravvivenza ${\displaystyle S(x)}$ è una funzione monotona decrescente, vale a dire ${\displaystyle S(a)\leq S(b)}$ per ${\displaystyle a>b.}$

Il tempo ${\displaystyle x=0}$ rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.

Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ è la funzione ${\displaystyle F(x)}$ con dominio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ e codominio l'intervallo ${\displaystyle [0,1]}$ definita da

${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{k})=P((X_{1}\leq x_{1})\cap (X_{2}\leq x_{2})\cap \ldots \cap (X_{k}\leq x_{k}))}$

dove ${\displaystyle X_{i}}$ sono le componenti di ${\displaystyle X}$.

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:

• Per qualsiasi ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \lim _{x_{i}\to -\infty }F(x_{1},\ldots ,x_{k})=0}$
• ${\displaystyle F}$ è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{i}+c,\ldots ,x_{k})\geq F(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{k})}$
• se ${\displaystyle k=2}$ per semplicità, ${\displaystyle P(a<X_{1}\leq b,c<X_{2}\leq d)=F(b,d)+F(a,c)-F(a,d)-F(b,c)}$
• ${\displaystyle \lim _{x_{i}\to +\infty }F(x_{1},\ldots ,x_{k})=G(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{k})}$ dove ${\displaystyle G}$ è la funzione di ripartizione della variabile ${\displaystyle (k-1)}$-variata ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{k})}$.

Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza

${\displaystyle \lim _{x_{k}\to +\infty }\lim _{x_{k-1}\to +\infty }\ldots \lim _{x_{1}\to +\infty }F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k})=1}$

e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici ${\displaystyle i}$.

In statistica la funzione di ripartizione empirica, o funzione di distribuzione cumulata, viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.

La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con ${\displaystyle F(x)}$ e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore ${\displaystyle x}$.

Se ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ la funzione di ripartizione ha espressione analitica

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<x_{1}\\F_{i}=\sum _{j\leq i}f_{j}&x_{i}\leq x<x_{i+1}\\1&x\geq x_{n}\end{cases}}}$

Le ${\displaystyle F_{i}}$ sono dette frequenze relative cumulate.

• Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003
• (EN) Jean Jacod, Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2000, ISBN 3-540-43871-8.

• Distribuzione (statistica)
• Funzione càdlàg
• Funzione di densità di probabilità
• Funzione caratteristica (teoria della probabilità)
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• Integrale
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• Statistica
• Teoria della probabilità
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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione di ripartizione

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di ripartizione, su MathWorld, Wolfram Research.

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