Linnes ha cominciato la carriera con la maglia del Sander. Vi ha giocato per due stagioni, passate entrambe nella 3. divisjon, quarto livello del campionato norvegese.[1] Linnes è passato poi al Kongsvinger. Ha debuttato nell'Eliteserien in data 5 maggio 2010, subentrando a Carl-Erik Torp nel successo per 0-1 in casa del Sandefjord.[2] Il 24 maggio ha giocato il primo match da titolare nella massima divisione norvegese, conclusosi con un successo per 3-1 sul Molde.[3] Ha giocato 15 incontri in campionato nella sua prima stagione da professionista. A fine campionato, però, il Kongsvinger è retrocesso in 1. divisjon. Linnes è rimasto però in squadra per un'altra stagione. Il 30 ottobre 2011 ha segnato la prima rete con questa maglia, nel successo per 0-4 sul campo del Randaberg.[4]
Il 31 agosto 2011 è stato annunciato il suo passaggio al Molde, a partire dal 1º gennaio successivo.[5] Il 4 ottobre 2014 ha vinto il campionato 2014 con il suo Molde, raggiungendo matematicamente il successo finale con quattro giornate d'anticipo grazie alla vittoria per 1-2 sul campo del Viking.[6] Il 17 ottobre successivo, il suo nome è stato inserito tra i candidati per la vittoria del premio Kniksen per il miglior difensore del campionato.[7] Il 29 ottobre 2014, ha rinnovato il contratto che lo legava al club per altre tre stagioni.[8] Il 10 novembre, si è aggiudicato la vittoria del titolo di miglior difensore del campionato norvegese.[9] Il 23 novembre successivo, il Molde ha centrato il successo finale nel Norgesmesterskapet 2014, ottenendo così il double.[10]
Il 12 gennaio 2016, Linnes è arrivato ad Istanbul per sostenere le visite mediche con il Galatasaray, in vista di un possibile trasferimento nel club turco.[11] Il 14 gennaio, il Galatasaray ha reso noto d'aver ufficialmente ingaggiato il difensore norvegese, che si è legato al nuovo club con un contratto valido per i successivi tre anni e mezzo.[12] Ha esordito in squadra il 19 gennaio, schierato titolare nel pareggio per 1-1 maturato sul campo dell'Akhisar Belediyespor, in una sfida valida per la Türkiye Kupası 2015-2016.[13] Ha debuttato nella Süper Lig il 6 febbraio, nel pareggio a reti inviolate contro il Konyaspor.[14]
Il 17 agosto 2021 ha fatto ritorno al Molde: ha scelto la maglia numero 21.[15]
Nazionale
Linnes ha esordito nella Norvegia Under-21 il 2 giugno 2011, quando è stato titolare nella sconfitta per 1-4 contro la Svezia.[16] Il 7 maggio 2013, è stato incluso nella lista provvisoria consegnata all'UEFA dal commissario tecnicoTor Ole Skullerud in vista del campionato europeo Under-21 2013.[17] Il 22 maggio, il suo nome è stato incluso tra i 23 calciatori scelti per la manifestazione.[18] La selezione norvegese ha superato la fase a gironi, per poi venire eliminata dalla Spagna in semifinale. In base al regolamento, la Norvegia ha ricevuto la medaglia di bronzo in ex aequo con l'Olanda, altra semifinalista battuta.[19]