Prima di dedicarsi al bob, Martina Fontanive ha praticato l'atletica leggera a livello nazionale; prese parte infatti alle edizioni 2011, 2012 e 2013 dei Campionati svizzeri assoluti, gareggiando nei 400 metri piani nella rassegna del 2011, nel salto in lungo e nei 400 m in quella del 2011 e nel lungo in quella del 2013, raggiungendo la finale del lungo in entrambe le occasioni. A livello nazionale under 23 si cimentò invece nel getto del peso e nel lancio del disco con discreti risultati ai campionati di categoria del 2011, avendo disputato la finale in entrambe le discipline.
2012: il passaggio al bob
Nel 2012 decise di cimentarsi nel bob in qualità di pilota per la squadra nazionale svizzera. Debuttò in Coppa Europa a novembre del 2012 come frenatrice e nella stagione seguente passò definitivamente al ruolo di pilota; in questa competizione si classificò al secondo posto in classifica generale al termine dell'annata 2016/17.
Esordì in Coppa del Mondo durante la stagione 2014/15, il 24 gennaio 2015 a Sankt Moritz, dove fu diciassettesima nel bob a due; il suo miglior risultato di tappa è stato un quarto posto ottenuto sempre a Sankt Moritz nel 2019/20, mentre in classifica generale detiene quale miglior piazzamento il settimo posto raggiunto al termine delle annate 2019/20 e 2020/21. Nel circuito delle World Series di monobob femminile andò per la prima volta a podio il 20 febbraio 2021 a Schönau am Königssee, vincendo l'ultima gara della stagione 2020/21 e concludendo l'annata al quarto posto in classifica generale.