In geometria , il piccolo dodecicosaedro è un poliedro stellato uniforme avente 32 facce - 20 esagonali e 12 decagonali - 120 spigoli e 60 vertici.[ 1]
Coordinate cartesiane
Le coordinate cartesiane per i vertici del piccolo dodecicosaedro sono date da tutte le permutazioni pari di:
(
0
,
± ± -->
1
,
± ± -->
(
3
φ φ -->
− − -->
4
)
)
{\displaystyle \left(\,0,\,\pm 1,\,\pm (3\varphi -4)\,\right)}
(
± ± -->
1
,
± ± -->
(
2
− − -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
2
− − -->
φ φ -->
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (2-\varphi )\,\right)}
(
± ± -->
(
2
− − -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
2
(
φ φ -->
− − -->
1
)
± ± -->
(
2
φ φ -->
− − -->
3
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (2-\varphi ),\,\pm 2(\varphi -1)\,\pm (2\varphi -3)\right)}
dove
φ φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
sezione aurea .
Poliedri correlati
Il piccolo dodecicosaedro, spesso indicato con il simbolo U50 e avente come inviluppo convesso un rombicosidodecaedro non uniforme, ha la stessa disposizione di vertici del grande dodecaedro troncato stellato , inoltre, esso condivide la disposizione degli spigoli con il piccolo dodecicosidodecaedro ditringonale , con cui ha in comune la disposizione delle facce decagonali, e con il piccolo icosicosidodecaedro , con cui ha in comune la disposizione delle facce esagonali.
Piccolo dodecicosacrono
Il piccolo dodecicosacrono è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del piccolo dodecicosaedro, avente per facce 60 antiparallelogrammi.[ 2]
Dato un piccolo dodecicosaedro di spigolo pari a 1, immaginando il piccolo dodecicosacrono come composto da 60 facce intersecanti a forma di antiparallelogramma, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno due coppie di angoli uguali di ampiezza pari a
arccos
-->
(
5
12
+
1
4
5
)
≈ ≈ -->
12
,
661
078
804
43
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos({\frac {5}{12}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}})\approx 12,661\,078\,804\,43^{\circ }}
arccos
-->
(
− − -->
3
4
+
1
20
5
)
≈ ≈ -->
129
,
657
475
656
13
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos(-{\frac {3}{4}}+{\frac {1}{20}}{\sqrt {5}})\approx 129,657\,475\,656\,13^{\circ }}
1
2
+
1
2
5
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}}
arccos
-->
(
1
12
+
19
60
5
)
≈ ≈ -->
37
,
681
445
539
45
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos({\frac {1}{12}}+{\frac {19}{60}}{\sqrt {5}})\approx 37,681\,445\,539\,45^{\circ }}
Note
^ Roman Maeder, 50: small dodecicosahedron Mathconsult . URL consultato il 24 marzo 2024 . ^ Magnus J. Wenninger, Dual Models URL consultato il 20 marzo 2024 .
Collegamenti esterni
