Pseudo-inversa

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In matematica, e in particolare in algebra lineare, la matrice pseudo-inversa, o pseudo-inversa di Moore-Penrose, di una matrice data ${\displaystyle A}$ si indica con ${\displaystyle A^{+}}$ ed è la generalizzazione della matrice inversa al caso in cui ${\displaystyle A}$ non sia quadrata.

La matrice pseudo-inversa interviene nella soluzione del problema dei minimi quadrati.

Data la matrice ${\displaystyle A}$ di dimensioni ${\displaystyle n\times m}$, una matrice ${\displaystyle A^{+}}$ di dimensioni ${\displaystyle m\times n}$ è detta pseudo-inversa di ${\displaystyle A}$ se verifica le seguenti quattro proprietà:

• ${\displaystyle AA^{+}A=A,}$
• ${\displaystyle A^{+}AA^{+}=A^{+},}$
• ${\displaystyle (AA^{+})^{T}=AA^{+},}$
• ${\displaystyle (A^{+}A)^{T}=A^{+}A.}$

Data una matrice ${\displaystyle A}$, esiste un'unica matrice pseudo-inversa che verifica le precedenti proprietà.

Se la matrice ${\displaystyle A}$ ha rango massimo, esiste una semplice espressione algebrica per determinare la pseudo-inversa. In particolare, data la matrice ${\displaystyle A}$ di dimensioni ${\displaystyle n\times m}$ con ${\displaystyle n\geq m}$ e rango ${\displaystyle m}$, la matrice pseudo-inversa di ${\displaystyle A}$ è la matrice

${\displaystyle A^{+}=(A^{T}A)^{-1}A^{T},}$

ed è un'inversa sinistra, cioè

${\displaystyle A^{+}A=I,}$

dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identità. Invece, se ${\displaystyle A}$ è di dimensioni ${\displaystyle n\times m}$ con ${\displaystyle n\leq m}$ e rango ${\displaystyle n}$, la matrice pseudo-inversa è la seguente

${\displaystyle A^{+}=A^{T}(AA^{T})^{-1},}$

ed è un'inversa destra, cioè

${\displaystyle AA^{+}=I.}$

Sia ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$ una matrice reale di rango ${\displaystyle r\leq \min\{n,m\}}$. Utilizzando la decomposizione ai valori singolari (SVD) della matrice ${\displaystyle A}$, si ha

${\displaystyle A=U\Sigma V^{T}}$

dove ${\displaystyle U\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times m}}$, ${\displaystyle V\in \mathbb {R} ^{m\times m}}$. Le matrici ${\displaystyle U,V}$ sono matrici unitarie; inoltre, in generale, non sono uniche. Invece, la matrice ${\displaystyle \Sigma }$ è unica, è una matrice rettangolare diagonale e contiene tutti i valori singolari della matrice ${\displaystyle A}$ sulla sua diagonale principale, ordinati in ordine decrescente: ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{r}>0}$. Con tale formulazione, segue che la pseudo-inversa della matrice iniziale è data da

${\displaystyle A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{T}}$

dove ${\displaystyle \Sigma ^{+}\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ (pseudo-inversa di ${\displaystyle \Sigma }$) è esplicitamente calcolabile prendendo la trasposta di ${\displaystyle \Sigma }$ e sostituendo ai valori singolari non nulli, ${\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{r}}$, il loro reciproco. La dimostrazione della validità della formula segue per calcolo diretto.

Inoltre, utilizzando la riscrittura data dalla SVD, si può verificare che:

${\displaystyle AA^{+}=U{\begin{bmatrix}I_{r\times r}&0_{r\times (n-r)}\\0_{(n-r)\times r}&0_{(n-r)\times (n-r)}\end{bmatrix}}U^{T}}$

ed analogamente

${\displaystyle A^{+}A=V{\begin{bmatrix}I_{r\times r}&0_{r\times (m-r)}\\0_{(m-r)\times r}&0_{(m-r)\times (m-r)}\end{bmatrix}}V^{T}}$.

Tutte le formule precedenti valgono anche nel caso di matrici complesse, a patto di sostituire il trasposto con il trasposto coniugato.

• La pseudo-inversa della pseudo-inversa è la matrice iniziale: ${\displaystyle (A^{+})^{+}=A}$.
• Se ${\displaystyle A}$ è quadrata con rango massimo allora la pseudo-inversa coincide con la matrice inversa standard: ${\displaystyle A^{+}=A^{-1}}$.
• La pseudo-inversa della trasposta è la trasposta della pseudo-inversa: ${\displaystyle (A^{+})^{T}=(A^{T})^{+}}$.

• Matrice
• Matrice invertibile

• (EN) Eric W. Weisstein, Pseudo-inversa, su MathWorld, Wolfram Research.

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