La variabile di test Q di Yule è un indice di associazione, ideato dallo statistico scozzese George Udny Yule, e
usato in tabelle statistiche dette di contingenza
.
Un indicatore ideato dallo stesso autore è la Y di Yule. Rispetto quest'ultima il valore assoluto è sempre maggiore (
) a meno che non vi sia indipendenza o completa associazione.
Storia
L'indice venne presentato da Yule nell'articolo On the association of attributes in statistics[1] e fu al centro di una controversia con il matematico e statistico inglese Karl Pearson.
La posizione di Pearson era che alla base di una tabella di contingenza vi fosse un fenomeno continuo e gaussiano, invece che un fenomeno discreto come sostenuto da Yule, che considerava poco scientifico fare ipotesi non desiderate e non verificabili.
Pearson, inoltre, notava che "collassando" una tabella
, riducendola a 2x2, si ottengono risultati differenti a seconda di come vengono aggregati i valori.
Questa osservazione rimane tuttora valida.
Metodologia
![{\displaystyle Q=(\alpha -1)/(\alpha +1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837016322fecec7a0240147bdc51154a958eb3bf)
ove
è il cosiddetto odds ratio
ove sia
che
assumono i valori 1 e 2
Tale indice
varia tra -1 e +1, ove 0 indica l'indipendenza.
può essere stimato da
![{\displaystyle q=(a-1)/(a+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7dc4678812b45f41a3f6003e7662d1dde49309)
dove in questo caso
in analogia a
(con il vincolo che
sia sempre maggiore di zero
mentre la varianza di
viene stimata con
![{\displaystyle s^{2}(q)=1/4(1-q)^{2}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}1/f_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98237edebc306c69597961107b864274ea2117a2)
Esempio
Valori assoluti
+-------------+-------+------+
| \ Abile | Si | No |
|Sesso \ | | |
+-------------+-------+------+
|Uomini | 20 | 80 |
|Donne | 90 | 80 |
+-------------+-------+------+
Valori relativi (f)
+-------------+-------+------+
| \ Abile | Si | No |
|Sesso \ | | |
+-------------+-------+------+
|Uomini | 0,074 | 0,296|
|Donne | 0,333 | 0,296|
+-------------+-------+------+
![{\displaystyle a=(0,074/0,333)/(0,296/0,296)=0,222}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3793ec563d1fee4590499d47e88877765850033)
![{\displaystyle q=(0,222-1)/(0,222+1)=-0,636}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da266958128dc52aeb7cbd56ec99a3878ed748e4)
Valori di q differenti
Collassando una tabella
a una
, a causa del criterio di aggregazione dei valori, si possono ottenere valori di
differenti. (cf. osservazione di Karl Pearson)
Se per esempio i dati di partenza fossero stati
+-------------+-------+------+------+
| \ Abile | Si | boh! | No |
|Sesso \ | | | |
+-------------+-------+------+------+
|Uomini | 20 | 10 | 70 |
|Donne | 90 | 0 | 80 |
+-------------+-------+------+------+
assegnando il "Boh!" ai "No" si ottiene la tabella e il
di cui sopra, mentre assegnandolo ai "Si" si ottiene la tabella seguente:
+-------------+-------+------+
| \ Abile | Si | No |
|Sesso \ | | |
+-------------+-------+------+
|Uomini | 30 | 70 |
|Donne | 90 | 80 |
+-------------+-------+------+
con l'indicatore
che si attenua diventando
Note
- ^ Georg Undy Yule, On the association of attributes in statistics, in Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londra, 1900.