Risoluzione all'identità

In matematica, la risoluzione all'identità è una formula che ha importanti risvolti pratici nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale, in particolare nella risoluzione di problemi legati a spazi vettoriali dotati di una base ortonormale.

Sia ${\displaystyle T}$ un operatore autoaggiunto ed ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ un insieme di Borel. Detta ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}}$ la funzione indicatrice di ${\displaystyle E}$, allora ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}(T)}$ è una proiezione autoaggiunta su ${\displaystyle H}$, e la risoluzione all'identità:

${\displaystyle \Omega :E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)}$

è una misura a valori di proiettore per ${\displaystyle T}$. Se ${\displaystyle T}$ è ambientato in uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$, la misura di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ rispetto a ${\displaystyle \Omega }$ è l'operatore identità su ${\displaystyle H}$.

Adoperando la notazione di Dirac, in cui ${\displaystyle |\cdot \rangle }$ rappresentano vettori in ${\displaystyle H}$ e ${\displaystyle \langle \cdot |}$ covettori (cioè funzionali lineari) nello spazio duale ${\displaystyle H^{*}}$, è possibile rappresentare ogni vettore ${\displaystyle |\psi \rangle }$ nella forma:

${\displaystyle |\psi \rangle =a_{1}|e_{1}\rangle +\cdots +a_{n}|e_{n}\rangle =\sum _{k}{a_{k}|e_{k}\rangle }}$

dove l'insieme di vettori ${\displaystyle \{|e_{k}\rangle \}_{k=1}^{n}}$ è una base ortonormale di tale spazio rispetto al prodotto hermitiano ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ definito su ${\displaystyle H}$. La normalizzazione è data da:^[1]

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$

In particolare, essendo la base ortonormale, si ha che:

${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

dove ${\displaystyle \delta _{ij}}$ è la delta di Kronecker. La risoluzione all'identità è data dalla relazione di completezza:

${\displaystyle id_{H}=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|}$

dove ${\displaystyle id_{H}}$ è l'identità su ${\displaystyle H}$ di dimensione ${\displaystyle n}$.

In uno spazio di Hilbert allargato, di dimensione infinita (e non numerabile), si scrive:

${\displaystyle \int {dx|x\rangle \langle x|}=id}$

dove l'integrale è esteso su tutto l'insieme di variabilità delle ${\displaystyle x}$.

Per la linearità del prodotto hermitiano, dato un qualunque vettore:

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{k}{a_{k}|e_{k}\rangle }\in H}$

vale la proprietà:

${\displaystyle \langle e_{j}|\psi \rangle =\langle e_{j}|\left(\sum _{k}{a_{k}|e_{k}\rangle }\right)=\sum _{k}{a_{k}\langle e_{j}|e_{k}\rangle }=a_{j}}$

Si può dunque scrivere l'identità:

${\displaystyle \left(id_{H}-\sum _{k}{|e_{k}\rangle \langle e_{k}|}\right)|\psi \rangle =|\psi \rangle -\sum _{k}{|e_{k}\rangle \langle e_{k}|\psi \rangle }=|\psi \rangle -\sum _{k}{|e_{k}\rangle a_{k}}=|\psi \rangle -|\psi \rangle =0}$

da cui discende

${\displaystyle id_{H}-\sum _{k}{|e_{k}\rangle \langle e_{k}|}=O_{H}}$

dove ${\displaystyle O_{H}}$ è la funzione nulla su ${\displaystyle H}$, cioè la tesi.

• F. Riesz, B. Szökefalvi-Nagy, Functional analysis , F. Ungar (1955)
• N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Theory of linear operators in a Hilbert space , 1–2 , F. Ungar (1961–1963)
• L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis in normed spaces , Pergamon (1964)

• Funzione identità
• Identità (matematica)
• Matrice identità
• Misura a valori di proiettore
• Operatore autoaggiunto
• Proiezione (geometria)
• Teoria spettrale

• (EN) V.I. Sobolev, Resolution of the identity, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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