Segmento circolare

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In geometria, un segmento circolare è una porzione di cerchio delimitata da una secante (o corda). Una porzione di cerchio delimitata da due secanti parallele viene detto segmento circolare a due basi. Il segmento circolare viene anche detto segmento circolare a una base per distinguerlo da quello a due basi.

La corda o secante definisce due segmenti circolari, uno dei quali è contrassegnato in verde nell'illustrazione, mentre l'altro è in bianco.

La lunghezza del raggio è uguale alla somma delle due altezze: ${\displaystyle R=h+d}$.

L'arco di circonferenza è ${\displaystyle s=R\cdot \theta }$, con ${\displaystyle \theta }$ espresso in radianti.

L'area misura ${\displaystyle A_{sg}={\frac {1}{2}}R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)}$. In alternativa, senza usare funzioni trigonometriche e senza angolo ${\displaystyle \theta }$, conoscendo solo lunghezze: ${\displaystyle A_{sg}={{R\left(s-c\right)+ch} \over 2}}$.

Dimostrazione

L'area si ottiene come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo inscritto ossia: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}R^{2}\theta -{\frac {1}{2}}(R^{2}\sin \theta )={\frac {1}{2}}R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)}$.

Per la corda (dal teorema della corda): ${\displaystyle c=2R\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$.

L'altezza della porzione triangolare è ${\displaystyle d=R\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$.

L'altezza del segmento è ${\displaystyle h=R-d=R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$.

Poiché per ${\displaystyle \alpha \in \left[0,{\frac {\pi }{4}}\right]}$ è possibile approssimare la funzione ${\displaystyle \sin \alpha }$ utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al 2° termine, ossia:

${\displaystyle \sin \alpha \simeq \alpha -{\frac {\alpha ^{3}}{6}}.}$

Per ${\displaystyle \theta \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$ la lunghezza della corda ${\displaystyle c}$ si approssima con la seguente formula:

${\displaystyle c=2R\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\simeq 2R\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {\theta ^{3}}{48}}\right)=R\theta \left(1-{\frac {\theta ^{2}}{24}}\right)=s\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{24}}\right),}$

dunque

${\displaystyle c\simeq s\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{24}}\right).}$

Analogamente, noti ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle s}$ è possibile ricavare ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle R,}$ per ${\displaystyle \theta \in \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$:

${\displaystyle \theta \simeq {\sqrt {24\left(1-{\frac {c}{s}}\right)}}}$

${\displaystyle R={\frac {s}{\theta }}\simeq {\frac {s}{\sqrt {24\left(1-{\frac {c}{s}}\right)}}}.}$

Calcolo dell'area del segmento in funzione dell'altezza ${\displaystyle h}$.

L'area del settore è data da:

${\displaystyle A_{st}={\frac {1}{2}}R^{2}\theta ;}$

${\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {R-h}{R}}\right);}$

${\displaystyle A_{st}=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right).}$

L'area del triangolo isoscele è data dal prodotto del segmento ${\displaystyle R-h}$ per la semicorda del settore circolare:

${\displaystyle A_{t}=\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}.}$

L'area segmento ${\displaystyle A_{sg}}$ è data dalla differenza dell'area del settore e l'area del triangolo isoscele:

${\displaystyle A_{sg}=A_{st}-A_{t}=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}.}$

L'area ${\displaystyle A_{sg}}$ è una funzione trascendente di ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle h}$, quindi non può essere espressa in termini algebrici. Ma si può affermare che man mano che l'angolo al centro diventa più piccolo (o alternativamente il raggio diventa più grande), l'area ${\displaystyle A_{sg}}$ si avvicina rapidamente e asintoticamente a ${\displaystyle {\frac {2}{3}}ch}$. Se ${\displaystyle \theta \ll 1}$, allora ${\displaystyle A_{sg}={\frac {2}{3}}ch}$ è sostanzialmente una buona approssimazione.

Quando l'angolo al centro si avvicina a ${\displaystyle \pi }$, l'area del segmento converge all'area di un semicerchio ${\displaystyle {\frac {\pi R^{2}}{2}}}$, quindi una buona approssimazione è:

${\displaystyle A_{sg}\approx {\frac {\pi R^{2}}{2}}-\left({\frac {2R+c}{2}}\right)(R-h),\quad }$ per ${\displaystyle h>0,75R.}$

Calcolo della corda ${\displaystyle c}$ in funzione dell'altezza:

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}.}$

Calcolo dell'arco ${\displaystyle s}$ in funzione dell'altezza:

${\displaystyle s=R\theta ;}$

${\displaystyle s=2R\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right).}$

• Segmento sferico
• Cerchio
• Settore circolare
• Corona circolare
• Lunula (matematica)

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su segmento circolare

• (EN) Eric W. Weisstein, Segmento circolare, su MathWorld, Wolfram Research.

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