Un semicerchio con raggio r . Detto AC il diametro del semicerchio, l'angolo B è un angolo retto In matematica il semicerchio è la figura geometrica bidimensionale che forma la metà di un cerchio . L'arco che viene a formarsi intorno al centro del cerchio ha l'ampiezza di 180°.
Si tratta di un caso particolare di segmento circolare : i due angoli che si vengono a formare tra la circonferenza e la corda sono angoli retti (vedi figura). La corda coincide peraltro con il diametro .
Equazione cartesiana
In un piano cartesiano ortogonale Oxy, la funzione della semicirconferenza si ricava semplicemente dall'equazione cartesiana della circonferenza ed è espressa nel modo seguente:
f
(
x
)
=
− − -->
c
− − -->
a
x
− − -->
x
2
{\displaystyle f(x)={\sqrt {-c-ax-x^{2}}}}
se ha centro sull'asse x , e
f
(
x
)
=
r
2
− − -->
x
2
{\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}
se ha centro nell'origine di riferimento, dove
r
=
a
2
4
+
c
{\displaystyle r={\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}+c}}}
è il raggio della semicirconferenza.
Calcolo del volume della sfera
Infatti, sfruttando l'integrale di rotazione :
π π -->
∫ ∫ -->
f
(
x
)
2
d
x
{\displaystyle \pi \int f(x)^{2}dx}
ovvero, facendo ruotare la funzione della semicirconferenza attorno all'asse delle ascisse, si ottiene:
π π -->
∫ ∫ -->
− − -->
r
+
r
(
r
2
− − -->
x
2
)
2
d
x
=
π π -->
∫ ∫ -->
− − -->
r
+
r
(
r
2
− − -->
x
2
)
d
x
=
π π -->
(
r
2
x
− − -->
1
3
x
3
)
− − -->
r
+
r
=
π π -->
(
r
3
− − -->
1
3
r
3
+
r
3
− − -->
1
3
r
3
)
− − -->
r
+
r
=
4
3
π π -->
r
3
{\displaystyle \pi \int _{-r}^{+r}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})^{2}dx=\pi \int _{-r}^{+r}(r^{2}-x^{2})dx=\pi \left(r^{2}x-{\frac {1}{3}}x^{3}\right)_{-r}^{+r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {1}{3}}r^{3}+r^{3}-{\frac {1}{3}}r^{3}\right)_{-r}^{+r}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
che, notoriamente, rappresenta il volume della sfera .
Teorema di Talete
Cerchio di Talete Il teorema di Talete afferma che un triangolo inscritto in una semicirconferenza deve essere necessariamente un triangolo rettangolo .
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