Spazio di Schwartz

In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida è lo spazio funzionale delle funzioni lisce le cui derivate (e le funzioni stesse) decrescono più velocemente di un qualsiasi potenza di 1/x. Prende il nome del matematico Laurent Schwartz.

Indicato con ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, è caratterizzato dall'importante fatto che su di esso la trasformata di Fourier è un automorfismo e grazie a questa proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier sugli elementi nello spazio duale di ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, che è lo spazio delle distribuzioni temperate.

Data una funzione ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$, si definisca:

${\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|}$

dove ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ sono multiindici, e:

${\displaystyle D^{\beta }={\frac {\partial ^{|\beta |}}{\partial x_{1}^{\beta _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\beta _{n}}}}}$

Lo spazio di Schwartz ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ su ${\displaystyle \Omega }$ è lo spazio funzionale:^[1]

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\Omega \right)=\{f\in C^{\infty }(\Omega )\mid \|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \quad \forall \,\alpha ,\beta \}}$

dove ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ è lo spazio delle funzioni con tutte le derivate continue da ${\displaystyle \Omega }$ a ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Su ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ consideriamo la topologia di spazio localmente convesso generato dalle seminorme ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$.

Ad esempio, se i è un multiindice e ${\displaystyle a}$ è un numero reale positivo, allora ${\displaystyle x^{i}e^{-ax^{2}}}$ appartiene allo spazio di Schwartz. Anche ogni funzione ${\displaystyle C^{\infty }}$ con supporto compatto appartiene a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Questo è evidente per la continuità di ogni derivata, quindi ${\displaystyle (x^{\alpha }D^{\beta })f}$ ha un massimo in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Lo spazio duale ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$ di ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ è lo spazio delle distribuzioni temperate.

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ è uno spazio vettoriale complesso, cioè chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalari complessi.

• Usando la regola di Leibniz, segue che ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ è chiuso anche sotto moltiplicazione; se ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {S}}}$, allora ${\displaystyle f\cdot g:x\mapsto f(x)g(x)}$ appartiene ancora a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

• Per ogni ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, si ha che ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{p},}$ dove ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ rappresenta lo spazio Lp su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Le funzioni in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ sono anche funzioni limitate.

• La trasformata di Fourier è un isomorfismo lineare ${\displaystyle {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}$.^[2]

• Lo spazio di Schwartz è completo.

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ è denso in ${\displaystyle L^{2},}$ perché per esempio la base hilbertiana di ${\displaystyle L^{2},}$ ${\displaystyle H_{n}(x)e^{-x^{2}/2}}$ con ${\displaystyle H_{n}}$ i polinomi di Hermite appartiene a ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.
• Lo spazio delle funzioni di test è contenuto in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

• Distribuzione (matematica)
• Norma (matematica)
• Spazio duale
• Spazio funzionale
• Trasformata di Fourier

• (EN) space of rapidly decreasing functions, in PlanetMath.

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