Teoria delle aste

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La teoria delle Aste è un ramo applicato della teoria dei giochi che si occupa dei comportamenti individuali nei mercati ad asta e ricerca le proprietà teoriche nei giochi dei mercati ad asta. Ci sono molti disegni possibili (o insiemi di regole) per un'asta e gli argomenti tipici studiati dai teorici dell'asta includono l'efficienza in un certo tipo di asta, le strategie e gli equilibri ottimi, e la comparazione dei risultati. La teoria delle aste è egualmente usata come uno strumento per informare la progettazione delle aste reali; i più importanti esempi di asta riguardano la privatizzazione delle aziende del settore pubblico o la vendita delle autorizzazioni governative.

Esistono quattro tipi di asta che solitamente vengono presi in considerazione:

In cui gli offerenti dispongono la loro offerta in una busta sigillata e simultaneamente la passano al banditore. Le buste vengono aperte e l'individuo con la più alta offerta vince l'asta, pagando un prezzo pari all'ammontare offerto. La simultaneità temporale non è essenziale, ciò che conta è che quando uno fa la sua offerta, entro il termine fissato, non conosca le offerte fatte dagli altri.

In cui gli offerenti dispongono la loro offerta in una busta sigillata e simultaneamente la passano al banditore. Le buste vengono aperte e l'individuo con la più alta offerta vince l'asta, pagando un prezzo pari al secondo ammontare offerto più alto. Questo tipo di asta viene anche detto "asta di Vickrey".

È un meccanismo d'asta per un solo bene dove il numero di partecipanti può essere molto elevato. L'asta è di tipo ascendente, cioè vince il prezzo massimo. Ogni partecipante ha una sua valutazione massima che costituisce la sua massima disponibilità a pagare il bene, il banditore, invece, comunica il prezzo di riserva, rappresentante il prezzo minimo richiesto per ottenere il bene messo all'asta. A ogni round il banditore comunica il prezzo del round precedente, aumentato di una quota che all'inizio è nota a tutti i partecipanti. Se il valore offerto dal partecipante è minore della quota comunicata, questi esce dall'asta e non può più rientrare: vince l'ultimo rimasto. Qualora uscissero tutti, si verificherebbe una situazione di parità che potrebbe essere risolta mediante un sorteggio random certificato da enti appositi.

In cui è fissato un prezzo sufficientemente alto a dissuadere tutti gli offerenti e viene progressivamente ridotto fino a che qualcuno non è disposto a comprare all'ultimo prezzo corrente. Il vincitore pagherà l'ultimo prezzo.

Definizione asta olandese "inversa": L'asta inizia con un'offerta iniziale molto bassa specificata dal banditore. Durante la fase di svolgimento dell'Asta, il prezzo dell'offerta viene poi aumentato dal Banditore fino a quando un fornitore accetta l'offerta, non appena un fornitore accetta un'offerta, l'asta termina

La maggior parte delle aste si basa su questi quattro standard. Ci sono altri tipi di asta che sono state oggetto di studio, come:

• All pay auction, in cui gli offerenti passano la loro offerta in una busta sigillata e simultaneamente al banditore. Le buste sono aperte e l'individuo con la più alta offerta vince l'asta, pagando un prezzo pari all'ammontare offerto. In una All pay auction tutti gli offerenti perdenti sono egualmente tenuti a effettuare un pagamento al banditore pari alla loro offerta.
• One dollar auction, utilizzata per descrivere gli effetti dei Costi irrecuperabili
• Unique bid auction
• Homogenous item auction, spectrum auction
• Simultaneous multiple-round auction

Il modello di gioco teorico delle aste è un gioco matematico rappresentato da un insieme di giocatori, un insieme di strategie disponibile per ciascun giocatore nell'asta e un vettore di payoff corrispondente ad ogni combinazione di strategie.

Solitamente i giocatori sono i compratori e venditori. L'insieme di aste attribuito a ogni giocatore è rappresentato da funzioni di offerta e prezzi di riserva. Ogni funzione di offerta mostra il valore, nel caso del compratore, o il costo, nel caso del venditore, per un dato prezzo d'offerta. Il modello di gioco teorico delle aste e il meccanismo di fare offerte strategiche generalmente rientra in una delle seguenti due categorie.

• Nel modello del "valore privato", ogni partecipante (offerente) assume che ogni offerente in competizione ottenga un valore privato casuale da una distribuzione di probabilità.
• Nel modello del "valore comune", ogni partecipante assume che ogni altro partecipante ottenga un segnale casuale da una distribuzione di probabilità comune a tutti gli offerenti.

Usualmente, ma non sempre, il modello del valore privato assume che i valori siano indipendenti tra gli offerenti, mentre nel modello del valore comune si assume che i valori siano indipendenti dai parametri comuni della distribuzione di probabilità. Quando è necessario fare assunzioni esplicite sulla distribuzione dei valori degli offerenti si assume la simmetria tra essi. Questo significa che la distribuzione di probabilità dalla quale gli offerenti ottengono i loro valori (o segnali) sono uguali per ogni offerente. Nel modello dei valori privati nel quale assumiamo indipendenza, la simmetria implica che i valori degli offerenti siano indipendenti e identicamente distribuiti.

Un importante esempio, in cui non si assume indipendenza, è il general symmetric model (1982) di Milgrom e Weber. Una delle prime ricerche teoriche pubblicate sulle proprietà delle aste tra offerenti simmetrici è quella di Keith Waehrer's (1999). Una pubblicazione postuma è quella di Susan Athey's (2001). Nel semplice first-price auction model dove due compratori offrono un oggetto, ogni compratore dovrebbe assumere che il valore privato del compratore rivale sia rappresentato da una distribuzione uniforme nell'intervallo [0,1], con la funzione di distribuzione cumulata ${\displaystyle F(v)=v}$, poiché F è simmetrica tra i due compratori: questo è un modello di asta con simmetria tra gli offerenti. Si assume che il valore dell'oggetto per il venditore sia 0 e il prezzo di riserva per il compratore sia anch'esso 0, ogni utilità attesa ${\displaystyle U}$ del compratore, funzione del prezzo offerto ${\displaystyle p}$, è uguale al surplus del consumatore il quale (compratore) riceverà condizionatamente alla vincita ${\displaystyle (v-p)}$, moltiplicata per la probabilità di essere il compratore con il più alto prezzo offerto. La probabilità è data dalla probabilità che il prezzo ${\displaystyle p}$ offerto dal compratore ecceda il prezzo offerto dagli altri compratori ${\displaystyle B}$ (espresso come una funzione dei valori del compratore ${\displaystyle v_{o}}$). Questa probabilità è:

${\displaystyle Pr\{p>B(v_{o})\}.}$

Inoltre

${\displaystyle U(p)=(v-p)Pr\{Y(p)>v_{o}\}.}$

Si assume che il prezzo offerto di equilibrio di ogni compratore sia crescente in modo monotono rispetto al valore del compratore; questo implica che la funzione di offerta ${\displaystyle B}$ ha la funzione inversa. Si assume che ${\displaystyle Y}$ sia la funzione inversa di ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle Y=B^{-1}.}$

Inoltre

${\displaystyle U(p)=(v-p)Pr\{Y(p)>v_{o}\}.}$

Poiché ${\displaystyle v_{o}}$ è distribuita come ${\displaystyle F(v_{o})}$ si ha

${\displaystyle Pr\{Y(p)>v_{o}\}=F(Y(p))=Y(p),}$

che implica

${\displaystyle U(p)=(v-p)Y(p).}$

Differenziando rispetto a ${\displaystyle p}$ e ponendo uguale a zero

${\displaystyle \,U'(p)=-Y(p)+(v-p)Y'(p)=0.}$

Poiché i compratori sono simmetrici, in equilibrio corrisponde al caso in cui ${\displaystyle p=B(v)}$ o (equivalentemente) ${\displaystyle Y(p)=v}$. Quindi

${\displaystyle \,-Y(p)+(Y(p)-p)Y'(p)=0.}$

Una soluzione ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ di questa equazione differenziale è una strategia inversa all'equilibrio di Nash in questo gioco.

A questo punto, una possibile congettura è che la soluzione (unica) corrisponde alla funzione lineare

${\displaystyle {\hat {Y}}(p)=ap}$

e

${\displaystyle \,{\hat {Y}}'(p)=a}$

per i numeri reali ${\displaystyle a}$. Sostituendo in ${\displaystyle U'(p)=0}$, ${\displaystyle -ap+(ap-p)a=0}$ oppure in ${\displaystyle -p+(a-1)p=0}$ e risolvendo per ${\displaystyle a}$ implica che ${\displaystyle {\hat {a}}=2}$. Quindi ${\displaystyle {\hat {Y}}(p)=2p}$ soddisfa ${\displaystyle U'(p)=0}$.

${\displaystyle {\hat {Y}}(p)={\hat {a}}p\Rightarrow {\hat {Y}}(p)/{\hat {a}}=p\lor v/{\hat {a}}={\hat {B}}(v)}$.

Allora, la funzione di offerta strategica equilibrio di Nash di questo gioco è stabilita come

${\displaystyle {\hat {B}}(v)=v/2}$.

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