Suzuki è cresciuto nel settore giovanile degli Urawa Reds,[1][2] con cui ha firmato il suo primo contratto da professionista nell'agosto del 2020: nell'occasione, a 16 anni e cinque mesi, è diventato il giocatore più giovane a fare ciò nella storia del club.[4] Ha poi esordito in J1 League il 9 maggio 2021, a 18 anni,[1][2] nell'incontro di campionato vinto per 2-0 con il Vegalta Sendai.[1] Complessivamente, ha collezionato 29 presenze con la maglia dei Red Diamonds.[2][5]
Il 6 agosto 2023, Suzuki viene ceduto in prestito con diritto di riscatto al Sint-Truiden, nella massima serie belga.[6][7] Debutta con il club il 27 agosto seguente, nell'incontro di campionato perso per 2-0 con il Cercle Bruges.[8] Dopo aver disputato 16 incontri nella prima parte di stagione,[9] il portiere viene ufficialmente riscattato dal Sint-Truiden il 1° febbraio 2024,[9][10] per circa quattro milioni di euro.[2] Nella sua prima annata in Belgio, ha collezionato in tutto 32 presenze.[2]
Il 15 luglio 2024 si trasferisce a titolo definitivo al Parma[11].
Nel gennaio del 2024, viene incluso dal CTHajime Moriyasu nella lista dei convocati per la Coppa d'Asia 2023.[13][14] Durante la fase a gironi del torneo, è responsabile di alcuni errori personali, per cui subisce anche insulti razzisti sui social media (poi condannati dalla federazione giapponese);[15][16] tuttavia, mantiene il proprio posto da titolare, anche se i Samurai Blue vengono infine eliminati ai quarti di finale, per mano dell'Iran.[17]