数学 の線型代数学 において、体 F 上のベクトル空間 V とその基底 B = {vi }i ∈ I 双対集合 （そうついしゅうごう、英 : dual set ）とは、（代数的）双対空間 V * ≔ HomF V , F )B * = {vi }i ∈ I B B *二重直交系 を構成するもののことを言う。これは δi j でクロネッカーのデルタ を表すとき
v
i
(
v
j
)
=
δ δ -->
i
j
(
i
,
j
∈ ∈ -->
I
)
{\displaystyle v^{i}(v_{j})={\delta ^{i}}_{j}\quad (i,j\in I)}
を満たすことを指す。双対集合 B *線型独立 であるが、V *張る のは V B *V *B *B 双対基底 （そうついきてい、英 : dual basis ）と呼ばれる。
ベクトルの演算を実行するにはその成分が必要となる。デカルト座標系 において、ベクトルの成分を取り出すのに必要なのは標準基底 とドット積 である。たとえば3次元空間のベクトル
a
=
a
x
i
+
a
y
j
+
a
z
k
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}=a_{x}{\boldsymbol {i}}+a_{y}{\boldsymbol {j}}+a_{z}{\boldsymbol {k}}}
を考える（右図）。ここで {i j k はデカルト座標系における標準基底を表す。このときベクトル a
a
x
=
a
⋅ ⋅ -->
i
,
a
y
=
a
⋅ ⋅ -->
j
,
a
z
=
a
⋅ ⋅ -->
k
{\displaystyle a_{x}={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {i}},\quad a_{y}={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {j}},\quad a_{z}={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}}}
のように取り出すことができる。そうすると、より抽象的に各成分を取り出す写像
i
∗ ∗ -->
(
a
)
=
a
⋅ ⋅ -->
i
,
j
∗ ∗ -->
(
a
)
=
a
⋅ ⋅ -->
j
,
k
∗ ∗ -->
(
a
)
=
a
⋅ ⋅ -->
k
{\displaystyle {\boldsymbol {i}}^{*}({\boldsymbol {a}})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {i}},\quad {\boldsymbol {j}}^{*}({\boldsymbol {a}})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {j}},\quad {\boldsymbol {k}}^{*}({\boldsymbol {a}})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}}}
が考えたくなる。これにより、たとえば
a
=
i
∗ ∗ -->
(
a
)
i
+
j
∗ ∗ -->
(
a
)
j
+
k
∗ ∗ -->
(
a
)
k
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {i}}^{*}({\boldsymbol {a}}){\boldsymbol {i}}+{\boldsymbol {j}}^{*}({\boldsymbol {a}}){\boldsymbol {j}}+{\boldsymbol {k}}^{*}({\boldsymbol {a}}){\boldsymbol {k}}}
などと書けるようになる。この {i j k が標準基底 {i j k の双対基底である。
例えば、R 2 デカルト平面 ）の標準基底ベクトル は
{
e
1
,
e
2
}
=
{
(
1
0
)
,
(
0
1
)
}
{\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}
であり、その双対空間 (R 2 )* の標準基底ベクトルは
{
e
1
,
e
2
}
=
{
(
1
0
)
,
(
0
1
)
}
{\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}^{1},{\boldsymbol {e}}^{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}}
である。
三次元ユークリッド空間 において、基底 {e 1 , e 2 , e 3 } が与えられたとき、その二重直交（双対）基底 {e 1 , e 2 , e 3 } は次の式によって得ることが出来る：
e
1
=
(
e
2
× × -->
e
3
V
)
⊤ ⊤ -->
,
e
2
=
(
e
3
× × -->
e
1
V
)
⊤ ⊤ -->
,
e
3
=
(
e
1
× × -->
e
2
V
)
⊤ ⊤ -->
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{1}=\left({\frac {{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{3}}{V}}\right)^{\top },\mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{1}}{V}}\right)^{\top },{\boldsymbol {e}}^{3}=\left({\frac {{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{2}}{V}}\right)^{\top }}
ここで ⊤ 転置 を表し、
V
=
(
e
1
;
e
2
;
e
3
)
=
e
1
⋅ ⋅ -->
(
e
2
× × -->
e
3
)
=
e
2
⋅ ⋅ -->
(
e
3
× × -->
e
1
)
=
e
3
⋅ ⋅ -->
(
e
1
× × -->
e
2
)
{\displaystyle V=({\boldsymbol {e}}_{1};{\boldsymbol {e}}_{2};{\boldsymbol {e}}_{3})={\boldsymbol {e}}_{1}\cdot ({\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{3})={\boldsymbol {e}}_{2}\cdot ({\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{1})={\boldsymbol {e}}_{3}\cdot ({\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{2})}
は基底ベクトル e 1 , e 2 , e 3 平行六面体 の体積である。
双対集合は常に存在し、V V *単射 、すなわち、vi を vi へ送る線形写像を与える。これは特に、双対空間 V *V
しかしながら、無限次元の V B *V *i ∈ I f (vi ) = 1線型汎関数 f : V → F vi 上でゼロでない。もし f が vi の（有限）線型結合 ならば——すなわち、I のある有限部分集合 K とスカラー αi によって
∑ ∑ -->
i
∈ ∈ -->
K
α α -->
i
v
i
{\textstyle \sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}}
K に含まれない任意の j に対して
f
(
v
j
)
=
(
∑ ∑ -->
i
∈ ∈ -->
K
α α -->
i
v
i
)
(
v
j
)
=
0
{\textstyle f(v_{j})=(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i})(v_{j})=0}
f の定義に矛盾する。したがって f は双対集合 B* の線型包 に属さない。
無限次元空間の双対は、もとの空間よりもより高い次元（高次無限濃度）を持ち、したがって同一の添字集合を備えるような双対空間の基底は存在しない。しかしながら、ベクトルの双対集合は存在し、それはもとの空間と同型であるようなその双対空間の部分空間を定義する。さらに、線型位相空間 に対し、連続的双対空間 を定義することが出来、そのような場合には双対基底は存在し得る。
有限次元ベクトル空間の場合、双対集合は常に双対基底であり、各基底に対して一意的である。それらの基底を B = {e 1 , …, e n B * = {e 1 , …, e n e j 余ベクトル e i ペアリング ⟨e i e j e i e j で表すとき、二重直交性の条件は次のようになる：
⟨ ⟨ -->
e
i
,
e
j
⟩ ⟩ -->
=
δ δ -->
i
j
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {e}}^{i},{\boldsymbol {e}}_{j}\rangle ={\delta ^{i}}_{j}}
このことは、「ベクトルのペアリング」を「対応する余ベクトルによる評価」と定義することによって、ドット積 （内積）を定義することに繋がる。基底ベクトルに対して、これは e i v e i v e i e j δij
ここで、前述のデルタの上付き添字と下付き添字の記号は、通常、余ベクトルを使っているものとベクトルあるいは二つのベクトルを符合させるために変化するものである。形式的に言えば、δi j は反変計量テンソル 、δij は共変計量テンソルと見なされ、これは添字の上げ下げ （英語版 ）
ある双対基底と基底の組合せは、V V *位相体 に対して、双対の空間は位相空間 であり、これはそれらの空間の基底のスティーフェル多様体 （英語版 ） 位相同型 を与える。
有限次元においては、二重直交性の条件は双対の各元に対し n 個の線型独立条件を課すことが代替的に分かる（なぜならば、n 個の基底ベクトルが存在し、それらは線型独立であるからである）。したがって、双対空間の次元は n であることにより、その双対集合の各元は一意的に定められる。
ある n V V n ×1V *行列乗算 （英語版 ） 1×n の行ベクトルと見なすことで分かる。
