P進ガンマ関数

数学において、p進ガンマ関数（pしんガンマかんすう、英: p-adic gamma function）Γ_p(s) は p進数 s を変数とする関数で、ガンマ関数と似たものである。Morita (1975) によって初めて陽的な形で定義されたが、Boyarsky (1980) は陰的な形では同様の関数が Dwork (1964) において使われていたことを指摘している。Diamond (1977) は log Γ(s) の p進の類似物として G_p(s) を定義した。Overholtzer (1952) はかつてガンマ関数の p進の類似物として異なるものを定義していたが、彼の関数は十分な性質を備えておらず、あまり用いられていない。

p進ガンマ関数は、p進整数 s を変数とし、次を満たす唯一つの連続関数である。

${\displaystyle \Gamma _{p}(s)=(-1)^{s}\prod _{0<i<s,\ p\nmid i}i.}$

ただし s は正とし、積は p によって割り切れない整数 i に制限されている。

• グロス＝コブリッツの公式

• Boyarsky, Maurizio (1980), “p-adic gamma functions and Dwork cohomology”, en:Transactions of the American Mathematical Society 257 (2): 359–369, doi:10.2307/1998301, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998301, MR552263, https://jstor.org/stable/1998301 
• Diamond, Jack (1977), “The p-adic log gamma function and p-adic Euler constants”, en:Transactions of the American Mathematical Society 233: 321–337, ISSN 0002-9947, JSTOR 1997840, MR0498503, https://jstor.org/stable/1997840 
• Diamond, Jack (1984), “p-adic gamma functions and their applications”, in Chudnovsky, David V.; Chudnovsky, Gregory V.; Cohn, Henry et al., Number theory (New York, 1982), Lecture Notes in Math., 1052, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 168–175, doi:10.1007/BFb0071542, ISBN 978-3-540-12909-7, MR750664 
• Dwork, Bernard (1964), “On the zeta function of a hypersurface. II”, Annals of Mathematics. Second Series 80: 227–299, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970392, MR0188215, https://jstor.org/stable/1970392 
• Morita, Yasuo (1975), “A p-adic analogue of the Γ-function”, Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics 22 (2): 255–266, ISSN 0040-8980, MR0424762, https://doi.org/10.15083/00039754 
• Overholtzer, Gordon (1952), “Sum functions in elementary p-adic analysis”, en:American Journal of Mathematics 74: 332–346, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371998, MR0048493, https://jstor.org/stable/2371998