カーダー・パリージ・ザン方程式
カーダー・パリージ・ザン方程式(英: Kardar–Parisi–Zhang equation) は、メヘラーン・カールダール(英語版)、ジョルジョ・パリージ、イー・チャン・ジャン (Yi-Cheng Zhang) らによって提案された、ランジュバン型の非線形の確率偏微分方程式であり、結晶の界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ方程式と略記される。
![{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}h\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}\left({\vec {x}},t\right)+\eta \left({\vec {x}},t\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5b1d72840b1f4b4926e7703f54c7b2668d217b)
は、時刻 での における界面の高さを表し、 は界面張力、 は非線形効果の強さ、 は確率的なノイズを表す。ノイズ項 は、
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\right\rangle &=0\\\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right\rangle &=2D\delta ^{d}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right)\delta \left(t-t'\right)\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302bf043cfb8a60ff9c911d27599f41784a5b4fc)
を満たすホワイトノイズ、特にガウシアンノイズであるとする。ここで は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、 はディラックのデルタを表す。また はノイズの強さである。
界面の高さ は、 に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。
方程式の構成
右辺第2項の非線形項 がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式 (Edwards–Wilkinson equation; EW eq.) になる。
界面の傾きを とし、その方向に速度 で界面が成長すると考えると、微小時間 の間に、界面の高さは だけ変化する。 と置き換えられることに注意すれば、
![{\displaystyle {\frac {\delta h}{\delta t}}=v\left[1+\left(\nabla h\right)^{2}\right]^{1/2}\simeq v+{\frac {v}{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d9fe59ca4948c388a43b2e45e5bee38bcaf4d4)
とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。
方程式の変形
コール・ホップ変換
高さの関数 を関数 を用いて、 と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される[注釈 1]。この変換をコール・ホップ変換という。
![{\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}W\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}},t\right)W\left({\vec {x}},t\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338e459a897e06694664ffec9631efdec51a5a46)
これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。
この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。
![{\displaystyle \displaystyle W\left({\vec {x}},t\right)=\int _{({\vec {0}},0)}^{({\vec {x}},t)}D{\vec {x}}\,'\left(t'\right)\exp \left\{-\int _{0}^{t}dt'\left[{\frac {\nu }{2}}\left({\frac {d{\vec {x}}\,'\left(t'\right)}{dt'}}\right)^{2}+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb570a4ec911263616087fd087bd6b9631fad8a7)
上記の経路積分より、 は、 と を結ぶ、 次元空間上の方向付きの高分子 (directed polymer; DP) のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる。
バーガース方程式への変換
別の有用な変換として、ベクトル場 を用いて、界面の高さ を で書き換えると、方程式は以下の形になる[注釈 2]。
![{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {}{\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1e29bb834343394eb7d913655bbd8827b6c666)
ここで と置けば、これは を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。
あるいは を改めて に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。
スケーリング
[要出典]
KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、
![{\displaystyle {\vec {x}}\rightarrow b{\vec {x}},\quad t\rightarrow b^{z}t,\quad {\vec {v}}\rightarrow b^{\alpha -1}{\vec {v}}\quad \left(h\rightarrow b^{\alpha }h\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a3bd7a2e5621cdf2f8f4785f2e409ac4d8a3a4)
ノイズ について、 の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、
![{\displaystyle \delta \left(x\right)\rightarrow b^{-1}\delta \left(x\right),\quad \delta \left(t\right)\rightarrow b^{-z}\delta \left(t\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828363eab8a74c9ee5a36e67093b4b18c1fce706)
と変換されるので、バーガース方程式は、
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}b^{\alpha -z-1}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{2\alpha -3}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{\alpha -3}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{-\left(d+2+z\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right),\\{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{\alpha +z-2}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{z-2}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{\left(z-2\alpha -d\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right).\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f70deb43baa6ad96f45a7fd4e399fb71eba4801)
となる。ここで の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 , について、 が成り立つことになる。
注釈
- ^ 対数の微分
を計算してから を両辺に掛ける。
- ^ KPZ方程式の各項について
を左から掛ける。
出典
参考文献
- Kardar, M.; Parisi, G.; Zhang, Y.-C. (1986-3-3). “Dynamic Scaling of Growing Interfaces”. Physical Review Letters (American Physical Society) 56: 889–892. doi:10.1103/PhysRevLett.56.889.
- Edwards, S. F.; Wilkinson, D. R. (1982-5-8). “The surface statistics of a granular aggregate”. Proceedings of the Royal Society Series A (the Royal Society) 381: 17–31. doi:10.1098/rspa.1982.0056.
- Huse, David A.; Henley, Christopher L.; Fisher, Daniel S. (1985-12-8). “Huse, Henley, and Fisher respond”. Physical Review Letters (American Physical Society) 55: 2924. doi:10.1103/PhysRevLett.55.2924.
- Kardar, Mehran; Zhang, Yi-Cheng (1987-5-18). “Scaling of Directed Polymers in Random Media”. Physical Review Letters (American Physical Society) 58: 2087–2090. doi:10.1103/PhysRevLett.58.2087.
関連項目
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