複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値(しゅち、英: principal value)とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。
必要性
複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。
![{\displaystyle e^{w}=z\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559e4919f5429c8bb21dcd0b106823aaa8bb7a90)
例えば、
の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。
![{\displaystyle e^{w}=i\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d82bf0fcf22784319e924656dfd8cd82401eae)
オイラーの公式から、
が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。
関数の引数とした点
の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。
から反時計回りに
ラジアンだけ回転した点が
になるが、ここからさらに
回転すると、また
になる。したがって
も
の値であると考えることができ、また
だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。
しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり
の値は一意に定まらない、ということである。log z は、k を任意の整数として
![{\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z+2\pi k\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40cd13b27fa8c6d11fabf35fa2439f8b753e1f2)
と書ける。k の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。
ここで k = 0 に相当する分枝を主枝(英語版)、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。
一般化
一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を
![{\displaystyle \mathrm {pv} \ f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a917d4298c5e763ff6bd58084419ff6ecd2e1dd)
と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。
主な関数の主値
複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。
対数関数
対数関数の例は上述したが、その形は
![{\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3659f6d9ff6df46d153f35c9e7061d06743fff2)
である。ここで
が多価である。この偏角の取りうる範囲を
に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの(範囲の限定された)偏角を、大文字を使って
と書く。関数の定義に
の代わりに
を使うことで、対数関数が一価になり、
![{\displaystyle \mathrm {pv} \ \log {z}=\mathrm {Log} \ z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee18b2142b682fa1f6bef78393ceffb5c7293587)
と書くことができるようになる。
指数関数
を複素数(
)とするときの指数
について考えるとき、一般には zα を eα log z として定義する。ここで Log でなく log を使うと、eα log z は多価関数となる。Log を使えば以下の形で zα の主値を取ることができる。
![{\displaystyle \mathrm {pv} \ z^{\alpha }=e^{\alpha \mathrm {Log} \ z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb27981242120d6a35dc75122683205f635304ed)
平方根
複素数
の平方根の主値は以下のようになる。
![{\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d975e1fd7938be78217e7d22c6731abd9a124b54)
ここで偏角は
の範囲である。
複素数の偏角
atan と atan2 の比較
ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。
![{\displaystyle [0,2\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec72cfde732f42822df3cbbe175b7465887eb80)
![{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)
逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。
- atan2:
の範囲
- atan:
の範囲
関連項目
外部リンク