Ellipsoïde

Een ellipsoïde is een kwadratisch oppervlak met drie loodrechte symmetrieassen.

De relatie die een ellipsoïde in het Cartesisch coördinatenstelsel beschrijft is:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$

Waarin a, b en c de vorm van de ellipsoïde vastlegt en er geldt:

• ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}L}$ : helft van maximale lengte
• ${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}B}$ : helft van maximale breedte
• ${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}H}$ : helft van maximale hoogte

Wanneer a = b = c geldt dan betreft het een bol.

Als we stellen a ≥ b ≥ c, dan geldt voor:

• a ≠ b levert een ongelijke ellipsoïde
• c = 0 & a ≠ c & b ≠ c levert een platte ellips
• b = c & a ≠ b & a ≠ c levert een prolate sferoïde (sigaarvormig)
• a = b & a ≠ c & b ≠ c levert een oblate sferoïde (pilvormig)
• a = b = c levert een bol.

Elke ellipsoïde kan worden gevormd door een bol in een of twee richtingen (langs orthogonale assen) te verschalen.

De volgende parametervergelijking stelt een ellips in het xy-vlak voor: ${\displaystyle [a\cos(\theta ),b\sin(\theta ),0]{\frac {}{}}}$ (${\displaystyle \theta }$ van 0 tot ${\displaystyle 2\pi }$), na rotatie rond bijvoorbeeld de x-as wordt de parametervergelijking ${\displaystyle [a\cos(\theta ),b\sin(\theta )\cos(\phi ),b\sin(\theta )\sin(\phi )]{\frac {}{}}}$, (${\displaystyle \theta }$ en ${\displaystyle \phi }$ van 0 tot ${\displaystyle 2\pi }$) Hiermee kan een prolate of oblate ellipsoïde worden geconstrueerd, maar niet een ongelijke.

Het volume van een ellipsoïde is eenvoudig te berekenen met de relatie:

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc}$

Uitgaande van de maximale lengte, breedte en hoogte wordt het volume uitgedrukt door:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{6}}\pi LBH\approx 0{,}524\ LBH}$

De oppervlakte is een stuk lastiger om te berekenen. Analytische afleiding geeft:

${\displaystyle A=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)}$

waarvoor geldt:

${\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}}$

${\displaystyle \theta =\arcsin {\left(e\right)}}$

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

en ${\displaystyle F(\theta ,m)}$ en ${\displaystyle E(\theta ,m)}$ zijn onvolledige elliptische integralen van de eerste en tweede orde.

Bij benadering levert dit de volgende relaties op:

platte Ellips: ${\displaystyle =2\pi \left(ab\right)}$ (factor 2 vanwege bovenste plak + onderste plak)

prolate ellipsoïde: ${\displaystyle \approx 2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)}$

oblate ellipsoïde: ${\displaystyle \approx 2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)}$

ongelijke ellipsoïde: ${\displaystyle \approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}}$

Voor p ≈ 1,6075 geeft dit een relatieve fout van maximaal 1,061% (Knud Thomsens formule); een waarde van p = 8/5 = 1,6 is optimaal voor bijna sferische ellipsoïden, met een relatieve fout van maximaal 1,178% (David W. Cantrells formule).

• Hyperboloïde
• Paraboloïde
• Referentie-ellipsoïde