Hrošovský begon op 6-jarige leeftijd met voetballen bij FC Baník Horná Nitra een club uit Prievidza, hij maakte hier 9 jaar deel uit van de jeugdwerking waarna hij in 2007 de overstap maakte naar AAC Trenčín. In 2009 haalde de Tsjechische eersteklasser FC Viktoria Pilsen de toen 17-jarige Hrošovský hier weg. Op 12 november 2011 mocht hij debuteren in het eerste elftal van de club in de bekerwedstrijd tegen FK Baník Sokolov. Met het oog op meer speelminuten werd beslist om hem in januari 2012 een half seizoen uit te lenen aan tweedeklasser FK Baník Sokolov, hij kwam hier in 13 wedstrijden in actie. In het daaropvolgende seizoen werd Hrošovský opnieuw uitgeleend, ditmaal aan FK Ústí nad Labem. Hier groeide hij uit tot een absolute basisspeler, hij kwam in het volledige seizoen in 28 competitiewedstrijden in actie waarin hij ook 3 keer wist te scoren. Door deze goede prestaties besloot Viktoria Pilsen hem een seizoen later uit te lenen aan eersteklasser SC Znojmo zodat ze hem ook eens op een hoger niveau bezig konden zien. Ook hier slaagde Hrošovský erin belangrijk te zijn voor zijn club, tot de winterstop kwam hij in 14 competitiewedstrijden in actie waarin hij ook 4 keer het net wist te vinden.
FC Viktoria Pilsen
In de winterstop van het seizoen 2013/2014 besloot moederclub FC Viktoria Pilsen om Hrošovský vervroegd terug te halen omwille van zijn uitstekende prestaties tijdens zijn uitleenbeurt. Hij wist vrijwel meteen een basisplaats af te dwingen, met zijn club werd hij in 2015, 2016 en 2019 landskampioen van Tsjechië. Daarnaast veroverde hij in 2015 ook de Tsjechische beker met Viktoria Pilsen. In het seizoen 2018/2019 kwam hij met zijn club uit in de UEFA Champions League, op 23 oktober 2018 mocht hij starten in de poulewedstrijd tegen Real Madrid CF. in de 78ste minuut, bij een 2-0 achterstand, wist Hrošovský de aansluitingstreffer te scoren in het Estadio Santiago Bernabéu. Bij deze eindstand bleef het echter waardoor de wedstrijd dus verloren ging.
KRC Genk
In juli 2019 maakte de Belgische eersteklasser KRC Genk bekend dat Hrošovský bij hun een contract had ondertekend tot de zomer van 2024. Hij debuteerde op 23 augustus 2019 in de gewonnen thuiswedstrijd tegen RSC Anderlecht, Hrošovský mocht na 73 minuten invallen voor Jakub Piotrowski. Op 1 februari 2020 scoorde hij zijn eerste doelpunt voor Genk in de thuiswedstrijd tegen Sporting Charleroi, deze goal was meteen goed voor een zuinige 1-0 overwinning. In april 2021 won hij met Genk de Beker van België door in de finale Standard Luik met 1-2 te verslaan.[1] Hrošovský stond in deze finale de volle 90 minuten tussen de lijnen.
.svg){kind=small}
