Han ble født på Ljan i Østre Aker herred i dagens Oslo kommune som sønn av Nils Drogseth fra Biri og Erdleyda Jørstad. Faren etablerte et blikkenslagerverksted i Stortingsgaten i 1878.[3] Arne Drogseth var gift med Albertine Dahl fra Trondheim, datter av overkonduktør Jonas Dahl og Jonetta Wennberg.
Etter studentereksamen i 1911 ble han sivilingeniør i metallurgi fra NTH i 1915. Han dro på studiereiser til Sverige, Tyskland og Sveits. Han var ansatt ved Marinens hovedverft i Horten da han ble arrestert av okkupasjonsmakten i 1941 og internert på Bredtvet. Høsten 1942 rømte han først til Sverige, deretter til London. I 1943 var Drogseth sekretær for industrikomiteen i London, ledet av professor Fredrik Vogt for å forberede gjenreisningen av norsk industri. Etter krigen var Drogseth ansatt ved Statens jernverkskommisjon 1945–1946 og administrerende direktør i A/S Norsk Bergverk i Oslo 1951–1963.
Politisk arbeid
Han meldte seg inn i Norges Socialdemokratiske Arbeiderparti i 1921 og Det norske Arbeiderparti i 1927. Han var medlem av Horten bystyre 1922–1940 og varaordfører 1937–1940, og satt som formann i Horten Arbeiderparti i en årrekke. Drogseth var også redaktør i Horten Arbeiderblad 1921–1933.
