Meslier begynte å spiller fotball for lokallaget Merlevenez da han var skes år gammel, og begynte på FC Lorients ungdomsakademi etter en vellykket kamp mot dem.[6] Den 1. februar 2018 signerte han sin første proffkontrakt med Lorient.[7] I juli 2018 avvslo Lorient et bud for Meslier fra Monaco på 10 millioner euro.[8][9]Premier League-laget Chelsea viste også interesse for målvakten.[10][9]
Han fortsatte med Lorient og fikk sin debut under daværende manager Mickaël Landreau den 14. august 2018, i en 1–0 seier over Valenciennes FC i Coupe de la Ligue.[11] Han fulgte det opp med fire kamper med rent bur, før han slapp inn sitt første mål i sin sjette profesjonelle kamp, mot Paris FC.[12] Han reddet en straffe fra Manuel Perez da Lorient vant 1–0 mot Clermont[13] Han garanterte plassen sin som lagets førstemålvakt i 2018–19-sesongen, hvor han i løpet av 30 kamper hadde 11 kamper med rent bur, og spilte en stor rolle i at laget endte sesongen på 6. plass i Ligue 2, bak Lens på målforskjell.[14]
Leeds United
2019–20-sesongen
Den 8. august 2019 ble Meslier signert til et sesongvarig lån av det britiske Championship-laget Leeds, hvor Leeds også fikk muligheten til å kjøpe Meslier.[15][16] Han startet sesongen som andre målvakt bak Kiko Casilla og konkurrerte med Kamil Miazek for en plass på benken. Meslier fikk et rykte som en god stravvemålvakt etter å ha reddet tre straffespark for Leeds U23 innen desember samme år.[17]
Den 4. januar 2020 annonserte manager Marcelo Bielsa at Meslier skulle få sin debut for Leeds i FA-cupen mot Premier League-laget Arsenal den 6. januar.[18] Til tross for at Leeds tapte 1–0 imponerte Meslier, og fikk skrøyt både for utspark og redninger i løpet av kampen.[19] Den 29. februar 2020 fikk han sin første ligakamp da Leeds slo Hull City 4–0 på bortebane.[20]
Meslier endte sesongen som Leeds’ førstevalg som målvakt etter at Kiko Casilla ble suspendert i åtte kamper.[21] Meslier holdt rent bur i syv av sine ti ligakamper, og Leeds vant ligatittelen og vant opprykk til Premier League.[22][23]
2020–21-sesongen
Den 23. juli 2020 signerte Meslier en fullstendig kontrakt med Leeds etter at laget vant opprykk til Premier League. Leeds skal ha betalt Lorient 5 millioner pund,[24] og han signerte en 3-årig kontrakt med laget.[25] Meslier fikk sin debut i Premier League i i 2020/21-sesongen, i en kamp mot Liverpool den 12. september 2020 hvor Leeds tapte 3–4 mot de regjerende mestrene på Anfield.[26][27] Den 28. september ble Meslier utnenvt til banens da Leeds slo Sheffield på Bramall Lane i et lokaloppgjør, hvor han hadde en rekke gode redninger og sørget for at kampen endte uavgjort.[28]
Den 23. februar 2021 ble Meslier den første målvakten under 21 år til å ha rent bur 11 ganger i en Premier League-sesong,[29][30]
2021–22-sesongen
Den 13. august 2021 signerte Meslier en kontraktforlengelse ut 2026.[31]
2022–23-sesongen
Mesliers prestasjoner mot Liverpool den 29. oktober 2022, som inkluderte ni redninger og sikret en 2–1 seier for Leeds på bortebane og løftet dem ut av nedrykkssonen, gjorde at han ble utnevnt til Premier League Man of the Match.[32][33] Han fikk sin kamp nummer 100 for Leeds den 4. januar 2023 da Leeds spilte uavgjort, 2–2 mot West Ham.[34]
Meslier slapp inn 22 mål på syv kamper i april 2023, en måned hvor laget kun sanket fire av 21 mulige poeng som resulterte i at hovedtrener Javi Gracia fikk sparken. Da Sam Allardyce ble ansatt i mai 2023―Leeds’ fjerde manager i 2022–23-sesongen―ble Meslier benket til fordel for Joel Robles i sesongens fire siste kamper, hvor laget kun fikk ett poeng. Sesongen endte i nedrykk til Championship.
2023-24-sesongen
Den 26. desember 2023 fikk Meslier et rødt kort etter å ha dyttet Milutin Osmajić i en kamp mot Preston.[35]
Intenasjonal karriere
Meslier har spilt landslagskamper for Frankrike opp til U21-nivået. Han spilte for U20-laget under U20-VM i fotball i mai 2019, hvor han var startende målvakt.[36]
I november 2019 ble Meslier inkludert i spillerstallen for Frankrikes U21-landslag og satt på benken da laget tapte 3–1 mot Sveits’ U21-landslag den 19. november 2019.[37] Han var igjen en del av U21-stallen i august 2020, da laget spilte mot George og Azerbaijan.[38] Han fikk sin debut for U21-laget i en kvartfinale mot Nederland den 31. mai 2021.[39]
Spillestil
På grunn av sitt utseende og fysikk har Mesliers spillestil blitt sammenlignet med den beligske målvakten Thibaut Courtois.[40][41]