Med oppvekst i Southgate, Greater London, startet Bunn sin karriere hos Tottenham Hotspur. Han forlot London-klubben til fordel for Northampton Town før han hadde mulighet til å signere proffkontrakt som 15-åring. Han debuterte som 20-åring i en ligacupkamp i august 2005, men måtte vente et helt år på ligadebuten. 27. april 2007 vant han tittelen som årets spiller i Northampton Town foran Jason Crowe og Chris Doig.
I juli 2007 prøvde hans tidligere manager i Northampton, Colin Calderwood, å hente ham til Nottingham Forest. Derby County ønsket også den unge keeperen, men Bunn ble værende i klubben.
Blackburn Rovers
Den 29. august 2008 meldte Blackburn Rovers meldte sin interesse og to dager senere, samme dag som overgangsvinduet stengte, signerte han for Blackburn. Han fikk sin debut et halvt år senere i FA-cupen mot Blyth Spartans. Samme sesong ble han lånt ut for en måned til Leicester City FC, hvor han spilte tre kamper. I en av kampene reddet han et straffespark.
I august 2009 ble han lånt ut til Sheffield United for en måned. Ikke lenge etter ble lånet forlenget med seks måneder. Han mistet etterhvert plassen på laget, men skader gjordet at han igjen ble førstevalg hos Sheffield United, og lånet ble forlenget ut sesongen. Men i mars 2010 ble han hentet tilbake til Blackburn grunnet skade hos førstekeeper Paul Robinson. Likevel måtte Bunn vente på sin ligadebut hos Blackburn fordi Jason Brown ble prioritert foran.
Den 28. desember 2010 fikk han endelig sin ligadebut, i Blackburns 3-1 seier borte mot West Bromwich Albion. Han kom inn i pausen for en skadet Paul Robinson. Bunn gjorde en grei figur og hadde noen fine redninger. Noen måneder senere, i februar 2011, signerte han en ny kontrakt med Blackburn som bandt ham til klubben frem til sommeren 2013.
Aston Villa
I juli 2015 meldte Bunn overgang fra Norwich City FC til Aston Villa FC på en fri overgang, hvor han skrev under på en toårskontrakt.[2]
