Aksjomat pary

Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.

Postać formalna

Dla dowolnych zbiorów $A$ i $B$ istnieje zbiór $C,$ którego jedynymi elementami są $A$ i $B.$ Formalnie^[1]:

\forall A\ \forall B\ \exists C\ \forall D\ (D\in C\iff D=A\lor D=B).

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych $A$ i $B.$ Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną $A$ i $B$ i oznaczamy $\{A,B\}.$

Uwaga

Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru

X

i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech

A,B\in X

to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy predykat:

\varphi (D):D=A\lor D=B

wtedy istnieje zbiór:

\{A,B\}=\{D\in X:\varphi (D)\}

Dalsze konstrukcje

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu $A,$ czyli zbiór jednoelementowy:

\{A\}=\{A,A\}

^[2]

Zbiór $\{A\}$ należy oczywiście odróżniać od zbioru $A.$

Mając dane zbiory $A,$ $B,$ $C,$ możemy zatem skonstruować zbiory $\{A,B\},$ $\{C\}$ i dalej wobec aksjomatu pary $\{\{A,B\},\{C\}\}.$ Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór $\{A,B,C\}$ zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów^[3].

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary^{[potrzebny przypis]}.

Para uporządkowana

Osobny artykuł: Para uporządkowana.

Możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów $A$ i $B{:}$

\langle A,B\rangle =\{\{A\},\{A,B\}\}

^[4]

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.

Bibliografia

Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.