Funkcje minimum i maksimum

Funkcje minimum i maksimum – funkcje przypisujące zbiorowi częściowo uporządkowanemu jego odpowiednio element najmniejszy i największy (o ile takie elementy istnieją). Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).

Minimum i maksimum formalnie są funkcjami przypisującymi parze liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ odpowiednio mniejszą (w przypadku minimum) i większą (w przypadku maksimum) z tych liczb. Dokładniej, dla ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ funkcje te dane są wzorami:

${\displaystyle \min(x,y)={\begin{cases}y,&{\mbox{gdy }}x\geqslant y\\x,&{\mbox{gdy }}y\geqslant x\end{cases}},}$

${\displaystyle \max(x,y)={\begin{cases}x,&{\mbox{gdy }}x\geqslant y\\y,&{\mbox{gdy }}y\geqslant x\end{cases}}.}$

Funkcje minimum i maksimum można zapisać jawnymi wzorami:

${\displaystyle \min(x,y)={\frac {x+y-|x-y|}{2}},}$^[1]

${\displaystyle \max(x,y)={\frac {x+y+|x-y|}{2}}.}$^[2]

Odwrotnie, wartość bezwzględną można wyrazić za pomocą funkcji maksimum^[3] i minimum:

${\displaystyle |x|=\max(-x,x)\ =-\min(-x,x).}$

Ponadto

${\displaystyle \max(x,y)=x+y-\min(x,y),}$

${\displaystyle \min(x,y)=x+y-\max(x,y).}$

Definicję te można łatwo uogólnić na funkcje skończenie wielu argumentów. Wystarczy zauważyć, że

${\displaystyle \max(x,y,z)=\max(\max(x,y),z)=\max(x,\max(y,z)).}$

W ten sposób można zdefiniować rekurencyjnie np.

${\displaystyle \max(x,y,z)=\max(\max(x,y),z),}$

${\displaystyle \max(x,y,z,u)=\max(\max(x,y,z),u)=\max(\max(x,y),\max(z,u))}$ itp.

Podobnie ma się rzecz z funkcją ${\displaystyle \min .}$ Przypadek zbiorów nieskończonych omówiony jest niżej.

W gruncie rzeczy porządek argumentów nie jest istotny, z tego względu funkcje ${\displaystyle \max ,\min }$ definiuje się jako funkcje zbiorów, skracając ich zapis przez pominięcie nawiasów:

${\displaystyle \max A,\min\{1,3,6\}.}$

Dla dowolnego zbioru ${\displaystyle P}$ z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:

${\displaystyle \min(P)=x\Leftrightarrow x\in P\land \forall _{p\in P}\;x\leqslant p,}$

${\displaystyle \max(P)=x\Leftrightarrow x\in P\land \forall _{p\in P}\;x\geqslant p.}$

Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych już tak nie jest. Np. odcinki (przedziały) obustronnie otwarte ${\displaystyle (a,b)}$ nie mają ani maksimum ani minimum.

Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:

${\displaystyle \min(P)=\inf(P),}$

${\displaystyle \max(P)=\sup(P).}$

czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny, a nie istnieje maksimum.

Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu ${\displaystyle p}$ dla ${\displaystyle p\to -\infty .}$

Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu ${\displaystyle p}$ dla ${\displaystyle p}$ dla ${\displaystyle p\to +\infty .}$

Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny – jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.

Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).

• Arg max
• ekstremum
• kres dolny i górny

• Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), ISBN 83-02-02551-8 .