Gaz Fermiego

Gaz Fermiego (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) – model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca^[1]. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać, wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n}\epsilon _{n}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}(E_{n}+\mu )a_{n}^{\dagger }a_{n},}$

gdzie:

${\displaystyle E_{n}}$ – energia ${\displaystyle n}$-tego stanu,

${\displaystyle \mu }$ – potencjał chemiczny.

Do dalszych obliczeń przyjmiemy ${\displaystyle \mu =0.}$

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

${\displaystyle N=\int \limits _{0}^{\infty }dE\rho (E){\frac {1}{\exp(\beta E)+1}},}$

gdzie:

${\displaystyle \rho (E)={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}{\sqrt {E}}}$ – gęstość stanów,

${\displaystyle m}$ – masa fermionów,

${\displaystyle h}$ – stała Plancka,

${\displaystyle V}$ – objętość, w której znajdują się fermiony,

${\displaystyle {\frac {1}{\exp(\beta E)+1}}}$ – rozkład Fermiego-Diraca,

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$ – czynnik Boltzmanna,

${\displaystyle N={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }dE{\sqrt {E}}{\frac {1}{\exp(\beta E)+1}}.}$

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

${\displaystyle N={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}\beta ^{-{\frac {3}{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }dx{\frac {x^{\frac {1}{2}}}{\exp(x)+1}}.}$

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\eta \left({\frac {3}{2}}\right).}$ Ostatecznie otrzymujemy:

${\displaystyle N={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}(k_{B}T)^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\eta \left({\frac {3}{2}}\right).}$

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

${\displaystyle U={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }dE{\frac {E^{\frac {3}{2}}}{\exp(\beta E)+1}},}$

otrzymujemy:

${\displaystyle U={\frac {2\pi V(2m)^{\frac {3}{2}}}{h^{3}}}(k_{B}T)^{\frac {5}{2}}\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)\eta \left({\frac {5}{2}}\right).}$

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

${\displaystyle U={\frac {5}{2}}{\frac {\eta \left({\frac {5}{2}}\right)}{\eta \left({\frac {3}{2}}\right)}}Nk_{B}T\propto Nk_{B}T.}$

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

${\displaystyle p={\frac {\partial U}{\partial V}}={\frac {5}{2}}{\frac {\eta \left({\frac {5}{2}}\right)}{\eta \left({\frac {3}{2}}\right)}}{\frac {\partial N}{\partial V}}k_{B}T.}$

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial V}}={\frac {N}{V}}=n,}$

gdzie:

${\displaystyle n}$ – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd

${\displaystyle p={\frac {5}{2}}{\frac {\eta \left({\frac {5}{2}}\right)}{\eta \left({\frac {3}{2}}\right)}}nk_{B}T\propto nk_{B}T.}$

• ciecz Fermiego
• kondensat Bosego-Einsteina
• kondensat fermionów
• materia zdegenerowana