Prosta Sorgenfreya

Prosta Sorgenfreya, prosta z topologią Sorgenfreya, prosta z topologią strzałki, strzałka Niemyckiego – zbiór liczb rzeczywistych z topologią wprowadzoną przez bazę:

${\displaystyle {\mathcal {B}}={\big \{}[a,b)\colon a,b\in \mathbb {R} ,a<b{\big \}}.}$

Zbiór liczb rzeczywistych z topologią Sorgenfreya oznaczany bywa czasem symbolem ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}.}$

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka amerykańskiego, Roberta Sorgenfreya. Przestrzeń ta, podobnie jak płaszczyzna Niemyckiego czy zbiór Cantora, jest często wykorzystywanym kontrprzykładem w topologii ogólnej.

• Topologia strzałki jest silniejsza (większa) od naturalnej topologii (euklidesowej) na prostej ponieważ każdy przedział otwarty można przedstawić jako sumę (nieskończenie wielu) przedziałów jednostronnie otwartych.
• Dla dowolnych liczb rzeczywistych ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle (a<b),}$ przedział ${\displaystyle [a,b)}$ jest zbiorem otwarto-domkniętym w topologii Sorgenfreya. Ponadto, dla dowolnego ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$ przedziały

${\displaystyle (-\infty ,a),[a,\infty )}$

są również otwarto-domknięte. Oznacza to, że prosta Sorgenfreya jest całkowicie niespójna.

• Topologia strzałki spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności i jest ośrodkowa (na przykład, zbiór liczb wymiernych jest gęsty w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ w topologii Sorgenfreya), ale nie spełnia ona drugiego aksjomatu przeliczalności. Wobec tego nie jest metryzowalna (ponieważ wszystkie ośrodkowe przestrzenie metryczne spełniają drugi aksjomat przeliczalności).
• Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią doskonale normalną.
• Produkt dwóch prostych Sorgenfreya nie jest przestrzenią normalną.

Dowód. Zbiór

${\displaystyle D=\{(-x,x)\colon x\in \mathbb {R} \}}$

jest dyskretny i domknięty w ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}\times \mathbb {R} _{l}.}$ Istotnie, ponieważ jest on domknięty w standardowej topologii euklidesowej, która jest słabsza jest on także domknięty w topologii mocniejszej. Dyskretność wynika z tego, że dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ część wspólna ze zbiorem otwartym ${\displaystyle [-x,-x+1)\times [x,x+1)}$ jest jednoelementowa. Ponieważ ${\displaystyle D}$ jest dyskretnym i domkniętym zbiorem mocy continuum, ma on ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}$ zbiorów domkniętych (każdy podzbiór jest domknięty). Gdyby produkt ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}\times \mathbb {R} _{l}}$ był normalny, przeczyłoby to twierdzeniu Tietzego z którego wynikałoby, że na tej przestrzeni jest ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ różnych funkcji ciągłych, a jest ich tylko continuum z uwagi na ośrodkowość prostej Sorgenfreya (a więc też produktu jej dwóch kopii).

• Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią Baire’a.

Dowód. Podzbiór ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ jest gęsty w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ w topologii Sorgenfreya wtedy i tylko wtedy, gdy jest gęsty w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ w zwykłej topologii euklidesowej. Niech ${\displaystyle (V_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będzie ciągiem zbiorów otwartych i gęstych w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ w topologii Sorgenfreya. Dla każdego ${\displaystyle n}$ niech ${\displaystyle U_{n}}$ oznacza wnętrze zbioru ${\displaystyle V_{n}}$ w sensie topologii euklidesowej. Wówczas każdy ze zbiorów ${\displaystyle U_{n}}$ jest również jest gęsty w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ w zwykłej topologii euklidesowej. Ponieważ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ z topologią euklidesową jest przestrzenią Baire’a, część wspólna wszystkich zbiorów ${\displaystyle U_{n}}$ jest niepusta. W szczególności, część wspólna wszystkich zbiorów ${\displaystyle V_{n}}$ jest niepusta, co kończy dowód. □

• Prosta Sorgenfreya jest Lindelöfa, parazwarta, ale nie jest lokalnie zwarta ani σ-zwarta.

• Nie istnieje spójne uzwarcenie prostej Sorgenfreya^[1].

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce
• Arthur Steen Lynn, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. New York: Springer-Verlag, 1978, s. 75–76.