Przestrzeń hemizwarta

Przestrzeń hemizwarta – przestrzeń Hausdorffa o takiej własności, że istnieje taka przeliczalna rodzina jej zwartych podzbiorów, że każdy podzbiór zwarty tej przestrzeni jej zawarty w pewnym elemencie tej rodziny. Pojęcie przestrzeni hemizwartej jest uogólnieniem zwartości w tym sensie, iż zwartość i hemizwartość pokrywają się w klasie przestrzeni mających bazę przeliczalną.

Własności

Każda przestrzeń hemizwarta spełniająca pierwszy aksjomat przeliczalności jest lokalnie zwarta.
Jeżeli $X$ jest przestrzenią całkowicie regularną oraz przestrzeń wszystkich funkcji rzeczywistych określonych na $X,$ z topologią zwarto-otwartą spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, to $X$ jest hemizwarta.
Jeżeli $X$ jest hemizwarta oraz $Y$ jest przestrzenią metryzowalną, to przestrzeń $Y^{X}$ z topologią zwarto-otwartą jest metryzowalna^[1].
Jeżeli $X$ $X$ jest przestrzenią lokalnie zwartą, to następujące warunki są parami równoważne:
- $X$ jest hemizwarta,
- $X$ jest przestrzenią Lindelöfa,
- $X$ jest σ-zwarta,
- $X$ ma takie przeliczalne pokrycie zbiorami zwartymi $\{A_{k}\colon \,k<\omega \},$ że $A_{k}\subseteq {\mbox{Int}}\,A_{k+1}$ dla każdego $k,$
- $X$ jest zwarta lub punkt $\infty$ w jej uzwarceniu jednopunktowym ma przeliczalną bazę otoczeń.