Równanie Clapeyrona (stan gazu doskonałego)

Ten artykuł dotyczy równania stanu gazu doskonałego. Zobacz też: inne znaczenia terminu równanie Clapeyrona.

Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałego – równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujące gazy rzeczywiste. Sformułowane zostało w 1834 roku przez Benoît Clapeyrona^[1]. Prawo to można wyrazić wzorem^[2][3]:

${\displaystyle pV=nRT,}$

lub

${\displaystyle pv=RT,}$

gdzie^[a]:

• ${\displaystyle p}$ – ciśnienie,
• ${\displaystyle V}$ – objętość,
• ${\displaystyle v}$ – objętość molowa,
• ${\displaystyle n}$ – liczba moli gazu, będąca miarą liczby jego cząsteczek; ${\displaystyle n=V/v,}$
• ${\displaystyle T}$ – temperatura bezwzględna,
• ${\displaystyle R}$ – uniwersalna stała gazowa: ${\displaystyle R=N_{A}k_{B},}$ gdzie: ${\displaystyle N_{A}}$ – stała Avogadra (liczba Avogadra), ${\displaystyle k_{B}}$ – stała Boltzmanna, ${\displaystyle R}$ = 8,314 J/(mol·K).

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:

• gaz składa się z poruszających się cząsteczek;
• cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia, w którym się znajdują;
• nie ma oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;
• objętość (rozmiary) cząsteczek pomija się;
• zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste.

Równanie to, mimo że wyprowadzone w ramach wyidealizowanego modelu, dobrze opisuje większość substancji gazowych w obszarze ciśnień do ok. 100 atmosfer i temperatury do 300–400 °C, oraz w temperaturze trochę większej od temperatury skraplania gazu przy danym ciśnieniu.

Równanie to można wyprowadzić fenomenologicznie (tj. bez odwoływania się do mikroskopowych właściwości układu). W wyniku wielu eksperymentów przeprowadzonych na gazach głównie w XVIII wieku badacze doszli do wniosku, że można w sposób satysfakcjonujący i wystarczający opisać te przemiany dla 1 mola gazu ${\displaystyle (n=1)}$ poprzez podanie 3 zmiennych np. ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle V.}$ Spośród tych trzech zmiennych tylko dwie są niezależne, wobec czego można traktować np. ciśnienie jako funkcję dwóch pozostałych zmiennych, tj. ${\displaystyle p=f(T,V).}$ Można zatem zapisać różniczkę zupełną ciśnienia ${\displaystyle \operatorname {d} p}$ jako

${\displaystyle \operatorname {d} p=\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} T}}\right)_{V}\operatorname {d} T+\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} V}}\right)_{T}\operatorname {d} V.}$

Pierwszy człon opisuje proces, w którym gaz zamknięty w stałej objętości jest ogrzewany, czemu towarzyszy zmiana jego ciśnienia. Jako pierwszy taką przemianę opisał Jacques Alexandre Charles (prawo Charles’a) i podał jej równanie w postaci:

${\displaystyle p=kT,}$

skąd wynika

${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} T}}\right)_{V}=k={\frac {p}{T}}.}$

Drugi człon to izotermiczne rozprężanie lub sprężanie gazu opisane przez Boyle’a i Mariotte’a (izotermiczna przemiana Boyle’a-Mariotte’a) wzorem

${\displaystyle p={\frac {l}{V}},}$

gdzie ${\displaystyle l}$ to stała. Z równania tego wynika, że

${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} V}}\right)_{T}=-{\frac {l}{{V}^{2}}}=-{\frac {p}{V}}.}$

Otrzymane pochodne cząstkowe podstawmy do wyrażenia na ${\displaystyle \operatorname {d} p}$

${\displaystyle \operatorname {d} p={\frac {p}{T}}\operatorname {d} T-{\frac {p}{V}}\operatorname {d} V.}$

Dzieląc to równanie przez ${\displaystyle p,}$ można rozdzielić zmienne

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} p}{p}}={\frac {\operatorname {d} T}{T}}-{\frac {\operatorname {d} V}{V}}.}$

Po wycałkowaniu

${\displaystyle \ln p=\ln T-\ln V+C.}$

Stałą całkowania ${\displaystyle C}$ można zapisać przy pomocy innej stałej ${\displaystyle R}$

${\displaystyle C=\ln R,}$

wówczas, ponieważ funkcja ${\displaystyle ln}$ jest różnowartościowa, a to prowadzi do równania

${\displaystyle pV=RT.}$

Rozumowanie można uogólnić na dowolną liczbę moli gazu ${\displaystyle n.}$ Równanie to stanowi fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:

• ${\displaystyle n}$ moli (taka sama liczba cząstek) gazu, przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu ${\displaystyle (V=nRT/p).}$
• w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej ${\displaystyle (n=pV/RT)}$
• ${\displaystyle n}$ moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierało na jego ścianki takie samo ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz ${\displaystyle (p=nRT/V).}$

Określenie równanie Clapeyrona nie jest stosowane powszechnie w odniesieniu do tego wzoru – w literaturze anglojęzycznej równanie to znane jest jedynie jako ideal gas law (prawo gazu doskonałego), podobnie jest w większości innych języków. W Rosji równanie to funkcjonuje pod nazwą równania Mendelejewa-Clapeyrona. Jako równanie Clapeyrona określana jest też zależność opisująca przemiany fazowe, m.in. ciecz-gaz. Pod tą nazwą często funkcjonuje też równanie Clausiusa-Clapeyrona.

Rozszerzeniami równania gazu doskonałego, uwzględniającymi objętość cząsteczek gazu oraz przyciąganie cząsteczek, są równanie van der Waalsa oraz wirialne równanie stanu.

Zgodnie z założeniami kinetycznej teorii gazów zakładaliśmy, że nie ma międzycząsteczkowych oddziaływań pomiędzy cząsteczkami gazu doskonałego. Innymi słowy, jego potencjalna energia wynosi zero. Stąd cała energia posiadana przez gaz jest energią kinetyczną:

${\displaystyle E={\frac {3}{2}}RT.}$

Jest to energia kinetyczna jednego mola gazu.

Energia gazu	Wzór matematyczny
energia związana z jednym molem gazu	${\displaystyle E={\frac {3}{2}}RT}$
energia związana z jednym gramem gazu	${\displaystyle E={\frac {3}{2}}rT}$
energia związana z jedną cząsteczką gazu	${\displaystyle E={\frac {3}{2}}k_{B}T}$

• Przemiany termodynamiczne
  • przemiana izobaryczna – (stałe ciśnienie ${\displaystyle p=\mathrm {const} }$)
  • przemiana izotermiczna – (stała temperatura ${\displaystyle T=\mathrm {const} }$)
  • przemiana izochoryczna – (stała objętość ${\displaystyle V=\mathrm {const} }$)
  • przemiana adiabatyczna – (brak wymiany ciepła z otoczeniem ${\displaystyle Q=0}$)
  • przemiana politropowa – (${\displaystyle pV^{n}=\mathrm {const} ,}$ gdzie ${\displaystyle n}$ – wykładnik politropy)

• applet Java obrazujący działanie przemian gazu doskonałego. walter-fendt.de. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-10-23)].