Tożsamość Bézouta

Tożsamość Bézouta a. lemat Bézouta – tożsamość algebraiczna polegająca na tym, że dla niezerowych liczb całkowitych ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b}$ o największym wspólnym dzielniku ${\displaystyle d,}$ istnieją liczby całkowite ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y,}$ nazywane liczbami Bézouta lub współczynnikami Bézouta, które spełniają liniowe równanie diofantyczne

${\displaystyle ax+by=d.}$

Ponadto ${\displaystyle d}$ jest najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, dla której istnieją rozwiązania całkowite ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ powyższego równania.

Nazwa pochodzi od Étienne’a Bézouta.

Pierwszy dowód dla liczb całkowitych można znaleźć już w pracach francuskiego matematyka Claude’a-Gasparda Bacheta de Méziriac (1581–1638)^[1], mianowicie w drugim wydaniu Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres z 1624 roku. Étienne Bézout (1730–1783) uogólnił tożsamość, obejmując tym przypadek wielomianów, dowodząc znacząco więcej. W wyniku jednego z częstych przypadków w matematyce nazwisko Bézouta zostało błędnie skojarzone z wynikiem Bacheta: niekiedy jednak spotyka się nieco sprawiedliwszą nazwę twierdzenia Bacheta-Bézouta tego lematu; nazwa twierdzenie Bézouta odnosi się wtedy do faktu, iż równanie

${\displaystyle ax+by=1}$

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczby całkowite ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b}$ są względnie pierwsze.

Liczby Bézouta ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ można wyznaczyć za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa, nie są one jednak wyznaczone jednoznacznie: jeśli dane jest rozwiązanie ${\displaystyle (x,y),}$ to istnieje ich nieskończenie wiele i są one postaci

${\displaystyle {\Bigg \{}\left(x+{\tfrac {kb}{\operatorname {nwd} (a,b)}},\ y-{\tfrac {ka}{\operatorname {nwd} (a,b)}}\right)\colon k\in \mathbb {Z} {\Bigg \}}.}$

Największym wspólnym dzielnikiem ${\displaystyle 12}$ i ${\displaystyle 42}$ jest ${\displaystyle 6.}$ Tożsamość Bézouta mówi, że musi istnieć całkowite rozwiązanie na ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ następującego równania:

${\displaystyle 12x+42y=6.}$

Jednym z tych rozwiązań jest ${\displaystyle x=-3}$ oraz ${\displaystyle y=1;}$ istotnie: ${\displaystyle (-3)\cdot 12+1\cdot 42=6.}$ Innym rozwiązaniem jest np. ${\displaystyle x=4}$ oraz ${\displaystyle y=-1.}$

Jeden z dowodów^[2] tożsamości Bézouta wykorzystuje algorytm dzielenia z resztą i fakt dobrego uporządkowania zbioru dodatnich liczb całkowitych. Niech ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ będą dowolnymi niezerowymi liczbami całkowitymi, zaś ${\displaystyle S}$ oznacza zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych postaci ${\displaystyle am+bn,}$ gdzie ${\displaystyle m}$ oraz ${\displaystyle n}$ są liczbami całkowitymi. Zbiór ${\displaystyle S}$ jest niepusty, co oznacza, że na mocy dobrego jego uporządkowania istnieje element najmniejszy, ${\displaystyle d=ax+by.}$

Na mocy algorytmu dzielenia z resztą istnieją również takie liczby całkowite ${\displaystyle q}$ oraz ${\displaystyle r,}$ dla których ${\displaystyle a=qd+r,}$ przy czym ${\displaystyle 0\leqslant r<d.}$ Jednakże

${\displaystyle r=a-qd=a-q(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy).}$

Jeśli ${\displaystyle r}$ jest dodatnia, tzn. ${\displaystyle 0<r<d,}$ to ${\displaystyle r\in S,}$ co przeczy temu, że ${\displaystyle d}$ jest najmniejszym elementem ${\displaystyle S.}$ Stąd ${\displaystyle r=0}$ i w konsekwencji ${\displaystyle a=qd,}$ co oznacza, że ${\displaystyle d}$ dzieli ${\displaystyle a.}$

Podobnie (stosując algorytm dzielenia dla b w miejsce a) okazuje się, że ${\displaystyle d}$ dzieli ${\displaystyle b.}$ W ten sposób ${\displaystyle d}$ jest wspólnym dzielnikiem ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b.}$ Jeśli ${\displaystyle c}$ jest innym wspólnym dzielnikiem, to ${\displaystyle c}$ dzieli również ${\displaystyle ax+by=d,}$ co z definicji oznacza, że ${\displaystyle d}$ jest największym wspólnym dzielnikiem ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b.}$

Tożsamość Bézouta można rozszerzyć na kombinacje liniowe więcej niż dwóch liczb: dla dowolnych liczb ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ o największym wspólnym dzielniku równym ${\displaystyle d,}$ istnieją takie liczby całkowite ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ że

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=d.}$

Największy wspólny dzielnik ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ jest w istocie najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, którą można zapisać jako kombinację liniową ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}.}$ W szczególności więc liczby ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ są względnie pierwsze (jako całość), gdy istnieją liczby całkowite ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ dla których

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=1.}$

Tożsamość Bézouta obowiązuje nie tylko w pierścieniu liczb całkowitych, ale również w dowolnej dziedzinie ideałów głównych. Dokładniej: jeśli ${\displaystyle R}$ jest dziedziną ideałów głównych, zaś ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b}$ są elementami ${\displaystyle R,}$ a ${\displaystyle d}$ jest ich największym wspólnym dzielnikiem, to istnieją elementy ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ należące do ${\displaystyle R,}$ dla których zachodzi ${\displaystyle ax+by=d.}$ Wynika to z faktu, iż ideał ${\displaystyle (a)+(b)}$ jest główny i istotnie jest równy ${\displaystyle (d).}$ Tożsamość Bézouta jest więc tam wynikiem przyjętej definicji.

Tożsamość Bézouta wyznacza klasę pierścieni: pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta, jeśli każdy skończenie generowany ideał tego pierścienia jest główny. Oczywiście tożsamość Bézouta obowiązuje w każdym pierścieniu Bézouta.

Twierdzenie

Niech dana będzie skończona rodzina ${\displaystyle (\mathrm {p} _{i})_{i\in I}}$ wielomianów ${\displaystyle K[X],}$ z których choć jeden jest niezerowy. Jeśli ${\displaystyle \mathrm {d} }$ oznacza największy wspólny dzielnik tej rodziny, to istnieje rodzina ${\displaystyle (\mathrm {a} _{i})}$ wielomianów ${\displaystyle K[X],}$ dla której zachodzi równość

${\displaystyle \mathrm {d} =\sum _{i\in I}\mathrm {a} _{i}\mathrm {p} _{i}.}$

W szczególności wielomiany ${\displaystyle (\mathrm {p} _{i})_{i\in I}}$ są względnie pierwsze (jako całość) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rodzina ${\displaystyle (\mathrm {a} _{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle K[X],}$ które spełniają równość

${\displaystyle 1=\sum _{i\in I}\mathrm {a} _{i}\mathrm {p} _{i}.}$

• Kalkulator online (ang.) tożsamości Bézouta.