Twierdzenie o oddzielaniu

Twierdzenia o oddzielaniu – twierdzenia w analizie funkcjonalnej mówiące o oddzielaniu podzbiorów przestrzeni liniowo-topologicznych poprzez ciągłe funkcjonały liniowe.

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem twierdzenie Hahna-Banacha. Nie opisano powodu propozycji integracji.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ będą wypukłe, niepuste i rozłączne.

• Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem otwartym, to istnieją ${\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }}$ oraz liczba rzeczywista ${\displaystyle \alpha }$ takie, że

${\displaystyle \operatorname {Re} \,x^{\star }x<\alpha \leqslant \operatorname {Re} \,x^{\star }y}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in A}$ oraz ${\displaystyle y\in B.}$

• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią lokalnie wypukłą, ${\displaystyle A}$ jest zbiorem zwartym oraz ${\displaystyle B}$ jest zbiorem domkniętym, to istnieją ${\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }}$ oraz liczby rzeczywiste ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ takie, że

${\displaystyle \operatorname {Re} \,x^{\star }x<\alpha <\beta \leqslant \operatorname {Re} \,x^{\star }y}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in A}$ oraz ${\displaystyle y\in B.}$

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeżeli ${\displaystyle X}$ jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną, to dla każdego ${\displaystyle x\in X\setminus \{0\}}$ istnieje ${\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }}$ taki, że ${\displaystyle x^{\star }x\neq 0.}$

Zasugerowano, aby ta sekcja została przeniesiona do artykułu.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią lokalnie wypukłą, a ${\displaystyle Y}$ jej podprzestrzenią.

• Dla każdego ${\displaystyle x\in X\setminus \operatorname {cl} Y}$ istnieje ${\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }}$ taki, że ${\displaystyle x^{\star }x=1}$ oraz ${\displaystyle Y\subseteq (x^{\star })^{-1}(\{0\}).}$

• ${\displaystyle \bigwedge _{x\in X}\left(\bigwedge _{x^{\star }\in X^{\star }}(x^{\star }|_{Y}=0\Rightarrow x^{\star }x=0)\Rightarrow x\in \operatorname {cl} Y\right)}$

• ${\displaystyle \bigwedge _{y^{\star }\in Y^{\star }}\bigvee _{x^{\star }\in X^{\star }}x^{\star }|_{Y}=y^{\star }}$

• Jeżeli ${\displaystyle F\subseteq X}$ jest podzbiorem domkniętym, wypukłym, zbalansowanym i niepustym, to dla każdego ${\displaystyle x_{0}\in X\setminus F}$ istnieje ${\displaystyle x^{\star }\in X^{\star }}$ takie, że ${\displaystyle x^{\star }x>1}$ oraz ${\displaystyle |x^{\star }x|\leqslant 1}$ dla każdego ${\displaystyle x\in F.}$