Własność Baire’a

Własność Baire’a – własność zbioru wskazująca na pewnego rodzaju jego regularność: można go uważać za zbiór prawie otwarty. Nazwa nadana dla uhonorowania René-Louisa Baire’a.

Zbiór $A$ przestrzeni topologicznej $X$ ma własność Baire’a, jeżeli można go przedstawić w postaci różnicy symetrycznej $U\triangle M$ zbioru otwartego $U$ i mizernego $M;$ równoważnie: różnica symetryczna $A\triangle U$ zbioru $A$ i zbioru otwartego $U$ jest mizerna.

Przykłady

Każdy zbiór borelowski ma własność Baire’a.
Każdy zbiór mizerny ma własność Baire’a.
W przestrzeniach polskich każdy zbiór analityczny ma własność Baire’a.
Zarówno zbiory Vitalego, jak i zbiory Bernsteina nie mają własności Baire’a.

Własności

W dowolnej przestrzeni topologicznej, zbiory o własności Baire’a tworzą σ-ciało podzbiorów tej przestrzeni. Jest to najmniejsze σ-ciało zawierające zarówno zbiory otwarte, jak i zbiory mizerne.
Jeśli podzbiór $Z$ przestrzeni polskiej $X$ ma własność Baire’a, to odpowiednia gra Banacha-Mazura $\Game ^{\mathrm {BM} }(Z)$ jest zdeterminowana.
Polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus wykazali, że aksjomat determinacji pociąga własność Baire’a wszystkich podzbiorów prostej^[1].

Mierzalność

Własność Baire jest najczęściej rozważana dla podzbiorów przestrzeni polskich czy wręcz podzbiorów prostej rzeczywistej. W tym kontekście jest ona często porównywana do mierzalności w sense Lebesgue’a. Matematycy pracujący w teorii mnogości, topologii, czy też teorii miary są często zainteresowani odkrywaniem podobieństw, jak i przeciwieństw między tymi własnościami^[2]^[3].

Twierdzenie Kuratowskiego-Ulama mówi, że^[4]

jeśli

X,Y

są przestrzeniami polskimi i

A\subseteq X\times Y

jest zbiorem o własności Baire’a,

to

A

jest zbiorem mizernym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

{\big \{}x\in X:\{y\in Y:(x,y)\in A\}

nie jest mizerny w

Y{\big \}}

jest mizerny w

X

(w istocie wystarczy założenie, że

X,Y

są Hausdorffa i

Y

ma przeliczalną π-bazę).

Powyższe twierdzenie jest uważane za topologiczny odpowiednik twierdzenia Fubiniego dla miary.

Niech $X$ będzie przestrzenią polską i $A\subseteq X.$ Wówczas można znaleźć zbiór $B\subseteq X$ mający własność Baire’a i taki, że

jeśli

C\subseteq B\setminus A

ma własność Baire’a, to

C

jest mizerny.

Ten wynik jest często podawany jako topologiczny odpowiednik miary zewnętrznej.

W 1970, Robert M. Solovay udowodnił, że zakładając istnienie liczby nieosiągalnej, istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a i mają własność Baire’a^[5].
W 1984 Saharon Szelach wykazał, że^[6]
- model, w który wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, może być otrzymany bez użycia liczb nieosiągalnych, ale
- mierzalność zbiorów rzutowych implikuje, że $\omega _{1}$ jest liczbą nieosiągalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).

Ten wynik Shelaha był jednym z pierwszych istotnych przykładów asymetrii pomiędzy własnością Baire’a a mierzalnością w sensie Lebesgue’a.

Randall Dougherty, Matthew Foreman^[7] udowodnili, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire’a. (Części rozkładu paradoksalnego muszą być niemierzalne).

Zobacz też

twierdzenie Baire’a

Przypisy

↑ Jan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3.
↑ John C. Oxtoby, Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces, Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980, ISBN 0-387-90508-1.
↑ Tomek Bartoszyński, Haim Judah, Set theory. On the structure of the real line, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995, ISBN 1-56881-044-X.
↑ Kazimierz Kuratowski, Stanisław Ulam: Quelques propriétés topologiques du produit combinatoire, „Fundamenta Mathematicae” 19 (1932), s. 247–251.
↑ Robert M. Solovay, A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable, „Ann. of Math.” 92 (1970), s. 1–56.
↑ Saharon Shelah, Can you take Solovay’s inaccessible away?, „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1–47.
↑ Randall Dougherty, Matthew Foreman: Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire, „J. Amer. Math. Soc.” 7 (1994), no. 1, s. 75–124.