Análise não padronizada

Análise não padronizada é um ramo da matemática desenvolvido desde 1960 para abordar o conceito de infinitesimal de maneira rigorosa. Para isso, um novo conceito é introduzido, o objeto padrão (ou padronizado) e objeto não padrão (ou não padronizado), ou mais precisamente modelo padrão ou teoria dos modelos. Pode-se, então, apresentar os principais resultados de análise matemática de uma forma mais intuitiva que a análise usual.^[1][2][3]

Nesta seção, construiremos o corpo hiper-real ${\displaystyle ^{*}\!\mathbb {R} }$. Seja ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o corpo dos números reais (padrão) e seja ${\displaystyle \mathbb {N} }$ o semianel dos números naturais. O conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ de todas as sequências de números reais com operações ponto-a-ponto não forma um corpo, mas obteremos o corpo dos hiperreais ${\displaystyle ^{*}\!\mathbb {R} }$ a partir deste conjunto da seguinte forma. Tome um ultrafiltro livre ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ em ${\displaystyle \mathbb {N} }$ isto é, ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subset 2^{\mathbb {N} }}$ é tal que

1. ${\displaystyle \varnothing \notin {\mathcal {U}}}$;
2. ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}\land B\in {\mathcal {U}}\implies A\cap B\in {\mathcal {U}}}$
3. ${\displaystyle A\subset \mathbb {N} \land A\notin {\mathcal {U}}\implies \mathbb {N} \setminus A\in {\mathcal {U}}}$
4. ${\displaystyle A}$ subconjutno finito de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \implies \mathbb {N} \setminus A\in {\mathcal {U}}}$

Estabelece-se que duas sequências de números reais ${\displaystyle u_{\bullet }=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }=(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ são equivalentes, ${\displaystyle u_{\bullet }\bumpeq v_{\bullet }}$, se existe um membro ${\displaystyle U}$ do ultrafiltro em que as sequências coincidam: ${\displaystyle u_{\bullet }(U)=v_{\bullet }(U)}$. Isto equivale a dizer que o conjunto de indices em que elas são iguais está no ultrafiltro, ${\displaystyle [u_{\bullet }=v_{\bullet }]=\left\{n\in \mathbb {N} \vert u_{n}=v_{n}\right\}\in {\mathcal {U}}}$. A relação ${\displaystyle \bumpeq }$ é de fato de equivalência; a transitividade se deve ao axioma 2 de ultrafiltro e à inclusão ${\textstyle [u_{\bullet }=w_{\bullet }]\supset [u_{\bullet }=v_{\bullet }]\cap [u_{\bullet }=v_{\bullet }]}$. Assim, definem-se os números reais não-padrão ou números hiperreais como ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\!\bumpeq }$, isto é, quocientando o conjunto das sequências pela relação de coincidirem em um membro do ultrafitro. Chama-se a esta construção feita de construção por ultrapotências (${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ é o ultraproduto de uma cópia de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ para cada número natural com respeito a um ultrafiltro dos naturais que contém todos os conjuntos cofinitos). Definem-se as operações em ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ por meio das operações ponto-a-ponto nos representantes. Denotando a classe de uma sequência ${\displaystyle u_{\bullet }}$ em ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ como ${\displaystyle [u_{\bullet }]}$, põe-se:

• ${\displaystyle [u_{\bullet }]+[v_{\bullet }]=[u_{\bullet }+v_{\bullet }]}$
• ${\displaystyle [u_{\bullet }]\cdot [v_{\bullet }]=[u_{\bullet }\cdot v_{\bullet }]}$

Observe que os números reais padrão ${\displaystyle \mathbb {R} }$ estão mergulhados em ${\displaystyle ^{*}\!\mathbb {R} }$ como as imagens das sequências constantes.

Definem-se também o módulo de um número hiperreal como ${\displaystyle |[u_{\bullet }]|=[|u_{\bullet }|]}$. Estende-se para ${\displaystyle ^{*}\!\mathbb {R} }$ a relação de ordem de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ pondo ${\displaystyle [u_{\bullet }]<[v_{\bullet }]:\iff \exists U\in {\mathcal {U}}\;\;\forall i\in U\;\;u_{i}<v_{i}}$. Verifica-se que todas essas definições se comportam como esperado para os números padrão vistos dentro do conjunto dos hiperreais.

Tome um número não-padrão ${\displaystyle r\in {^{*}\mathbb {R} }}$. Diz-se que ${\displaystyle r}$

• é um infinitésimo ou um número infinitesimal se ${\displaystyle r<1/n}$ para todo natural padrão ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$;
• é um número finito ou limitado se ${\displaystyle |r|<n}$ para todo natural padrão ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$;
• é um número infinito ou ilimitado se ${\displaystyle |r|>n}$ para todo natural padrão ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Referências

• Cálculo não padronizado

• Portal da matemática

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