Onda de Love

Na elastodinâmica, as ondas de Love, nomeadas em homenagem a Augustus Edward Hough Love, são ondas de superfície^[1][2][3] polarizadas horizontalmente. A onda de Love é o resultado da interferência de muitas ondas de cisalhamento (ondas S),^[4][5] guiadas por uma camada elástica, que é soldada a um meio espaço elástico de um lado, ao mesmo tempo que limita o vácuo do outro lado.

Em sismologia, ondas de Love (também conhecidas como ondas Q [Quer: alemão para lateral]) são ondas sísmicas superficiais que causam deslocamento horizontal da Terra durante um terremoto. Augustus E. H. Love previu matematicamente a existência desse tipo de onda em 1911.^[6]

A conservação do momento linear de um material elástico linear pode ser escrita como^[7]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )=\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}}$

Onde ${\displaystyle \mathbf {u} }$ é o vetor de deslocamento e ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ é o tensor de rigidez. As ondas de Love são uma solução especial (${\displaystyle \mathbf {u} }$) que satisfazem este sistema de equações. Normalmente usamos um sistema de coordenadas cartesianas (${\displaystyle x,y,z}$) para descrever as ondas de Love.

Considere um meio elástico linear isotrópico no qual as propriedades elásticas são funções apenas da coordenada ${\displaystyle z}$, isto é, os parâmetros de Lamé e a densidade de massa podem ser expressos como ${\displaystyle \lambda (z),\mu (z),\rho (z)}$. Deslocamentos ${\displaystyle (u,v,w)}$ produzidos pelas ondas de Love em função do tempo (${\displaystyle t}$) têm a forma

${\displaystyle u(x,y,z,t)=0~,~~v(x,y,z,t)={\hat {v}}(x,z,t)~,~~w(x,y,z,t)=0\,.}$

Estas são, portanto, ondas de cisalhamento antiplano^[8] perpendiculares ao plano ${\displaystyle (x,z)}$. A função ${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)}$ pode ser expressa como a superposição de ondas harmônicas com números de onda variáveis (${\displaystyle k}$) e freqüências (${\displaystyle \omega }$). Vamos considerar uma única onda harmônica, ou seja,

${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

onde ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$. Os estresses causados por esses deslocamentos são

${\displaystyle \sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.}$

Se substituirmos os deslocamentos assumidos nas equações para a conservação do momento, obtemos uma equação simplificada

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.}$

As condições de contorno para uma onda de Love são que as trações de superfície na superfície livre ${\displaystyle (z=0)}$ devem ser zero.

Outro requisito é que o componente de tensão ${\displaystyle \tau _{yz}}$ em um meio de camada deve ser contínuo nas interfaces das camadas. Para converter a equação diferencial de segunda ordem em ${\displaystyle V}$ em duas equações de primeira ordem, expressamos este componente de tensão na forma

${\displaystyle \tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

para obter a primeira ordem de conservação de equações de momentum

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1/\mu (z)\\k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}\,.}$

As equações acima descrevem um problema de autovalor cuja solução em autofunções^[9][10] pode ser encontrada por um número de métodos numéricos. Outra abordagem comum e poderosa é o método da matriz propagadora^[11][12] (também chamado de abordagem matricial), cujo problema de autofunções pode ser encontrado para um certo número de métodos numéricos.

Referências

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